Неограниченные решения нелинейных уравнений в частных производных представляют значительный интерес. Во многих случаях энергетические оценки позволяют доказать, что решение обращается в бесконечность на ограниченном промежутке времени, и оценить размер этого промежутка. В настоящей работе рассмотрено уравнение, для которого энергетические оценки не позволяют выявить случаи такого качественного поведения решений, однако с помощью анализа Пенлеве удаётся изучить класс неограниченных решений.

Предложено семейство методов Петрова–Галеркина–МКЭ для решения нелинейного уравнения Клейна–Гордона. Дискретные схемы сформулированы в терминах решения задачи и его производной по времени и обеспечивают сохранение полной энергии на дискретном уровне. Численно исследована простейшая двухслойная схема подобного типа. На основе решения тестовых задач с гладкими решениями показано, что схема позволяет определить как решение задачи, так и его производную по времени с погрешностью порядка O(h² + τ ²) в среднеквадратической норме, где τ и h характеризуют шаги сетки по времени и пространству соответственно.

Предложен метод решения задачи выпуклого программирования, относящийся к классу методов отсечений. Итерационные точки вычисляются в нём на основе аппроксимации многогранными множествами как области ограничений, так и надграфика целевой функции исходной задачи. Метод характерен, в частности, тем, что основная последовательность приближений строится принадлежащей допустимой области и на каждом шаге метода есть возможность оценивать близость текущего значения функции к её оптимальному значению. Доказана сходимость метода, описаны некоторые его реализации.

Обсуждены два процесса, связанных с релаксацией структуры стеклообразного материала. Один процесс порождает релаксацию напряжений. Второй, более медленный процесс связан с релаксацией структуры к равновесному состоянию, он продолжается и после релаксации напряжений и описан изменением фиктивной температуры. Оба процесса приводят к изменению коэффициента вязкости. В настоящей работе проведен анализ модели неравновесной вязкости с учетом обоих процессов релаксации и продемонстрирована важность учета напряжений при моделировании вязкоупругого поведения стеклообразного материала на примере решения задачи описания релаксации напряжений в пластине под действием температурных напряжений.

Решена задача о теплопереносе в полубесконечных телах при наличии произвольного числа нестационарно подвижных границ фазовых превращений. Такие задачи возникают при высокотемпературном нагреве композиционных материалов, когда происходит разложение (деструкция) связующих с образованием подвижных границ начала и окончания фазовых превращений, границ уноса массы и т. д. Получено аналитическое решение задачи типа Стефана при произвольном числе нестационарно подвижных границ и подробно исследован теплоперенос при наличии двух подвижных границ.

Для построения динамических вариационных моделей термомеханики сплошной среды предложено рассматривать 4D-пространственно-временной континуум. Для идентификации физических постоянных в обратимых процессах сформулированы физически обоснованные гипотезы: парности пространственных касательных напряжений, классической зависимости импульса от скорости, потенциальности теплового потока (обобщение закона Максвелла–Каттанео). Предполагается, что обобщенный закон Дюамеля–Неймана имеет классический вид. В представленной модели обобщенные законы Максвелла–Каттанео и Дюамеля–Неймана не вводятся феноменологически, а получены как уравнения совместности при исключении термического потенциала из уравнений закона Гука для температуры, теплового потока и давления. Даны определения каналов диссипации как простейших, линейных по вариациям аргументов, неинтегрируемых вариационных форм. В результате получил развитие вариационный принцип, обобщающий вариационный принцип Л.И. Седова. Он является следствием принципа возможных перемещений и определяется как разность вариации лагранжиана обратимых термомеханических процессов и алгебраической суммы каналов диссипации. Доказано, что для классических термомеханических процессов с разрешающими дифференциальными уравнениями второго порядка возможно существование всего шести каналов диссипации. Два из них определяют диссипацию в распадающейся системе – в уравнениях движения и уравнении баланса тепла. Оставшиеся четыре канала определяют эффекты связанности в связанных задачах диссипативной термомеханики.

В настоящей работе представлен процесс создания системы автоматизированного построения графов знаний для коллекций математических документов в формате LATEX. Разработана онтология MathCollectionOntology, определяющая типы объектов и связей в графах знаний. Представлены инструменты, включающие методы извлечения математических терминов, выделения тематик документов, извлечения сущностей из LATEX-кода, а также инструменты для вычисления статистических параметров графа.
Среди выделяемых сущностей: математические термины, тематики, полученные методом латентного размещения Дирихле, коды УДК, использованные формулы, аффилиации авторов, использованная литература и другие. Каждый извлеченный объект записывается в граф знаний с использованием определенных типов связей, выделенных в разработанной онтологии MathCollectionOntology.
С использованием разработанной системы проведены построение и анализ графа знаний для коллекции научных статей журнала «Известия высших учебных заведений. Математика», включающей 1114 русскоязычных статей в формате LATEX. Выделен терминологический состав тематик документов. Получены количественные параметры построенного графа знаний коллекции.

Рассмотрены методы маршрутизации в двумерных циркулянтных графах (каждая вершина соединена с четырьмя соседними). Уникальная группа симметрий циркулянта позволяет использовать его в качестве топологии для вычислительных устройств большой мощности, в том числе сетей на кристалле и суперкомпьютеров кластерного типа. Показано, что в качестве координат вершин можно использовать минимальное число переходов по образующим от начальной вершины. Разработаны два метода маршрутизации на основе координат. Первый предполагает восстановление номеров вершин и нахождение разности между ними, координаты соответствующей вершины задают маршрут. Второй метод состоит в нахождении разности координат конечной и начальной вершин и минимизации маршрута на основе предложенного алгоритма.

Рассмотрена нелинейная система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая пограничный слой, для решения которой широко используют численные методы. Здесь на основе переменных Дородницына–Лиза проведен анализ и сделан вывод формул для определения тепловых потоков к телу от реагирующего сжимаемого градиентного пограничного слоя и температур тела.

Предложена диффузионно-кинетическая модель для анализа процесса окисления в наноструктурированном материале с явным выделением границ зерен. Предполагается, что скорость миграции кислорода вдоль границ превышает скорость его перемещения в объеме зерен. Учтены стадии разложения и образования интерметаллидов и образования оксидов, как в границах, так и в объеме зерен. Задача решена численно. Проведено сравнение динамики окисления для разных материалов с разными свойствами зерен.