Вариационная постановка задач термомеханики

Для построения динамических вариационных моделей термомеханики сплошной среды предложено рассматривать 4D-пространственно-временной континуум. Для идентификации физических постоянных в обратимых процессах сформулированы физически обоснованные гипотезы: парности пространственных касательных напряжений, классической зависимости импульса от скорости, потенциальности теплового потока (обобщение закона Максвелла–Каттанео). Предполагается, что обобщенный закон Дюамеля–Неймана имеет классический вид. В представленной модели обобщенные законы Максвелла–Каттанео и Дюамеля–Неймана не вводятся феноменологически, а получены как уравнения совместности при исключении термического потенциала из уравнений закона Гука для температуры, теплового потока и давления. Даны определения каналов диссипации как простейших, линейных по вариациям аргументов, неинтегрируемых вариационных форм. В результате получил развитие вариационный принцип, обобщающий вариационный принцип Л.И. Седова. Он является следствием принципа возможных перемещений и определяется как разность вариации лагранжиана обратимых термомеханических процессов и алгебраической суммы каналов диссипации. Доказано, что для классических термомеханических процессов с разрешающими дифференциальными уравнениями второго порядка возможно существование всего шести каналов диссипации. Два из них определяют диссипацию в распадающейся системе – в уравнениях движения и уравнении баланса тепла. Оставшиеся четыре канала определяют эффекты связанности в связанных задачах диссипативной термомеханики.

1. Joseph D.D., Preziosi L. Heat waves // Rev. Mod. Phys. 1989. V. 61, No 1. P. 41–73. https://doi.org/10.1103/RevModPhys.61.41.

2. Lepri S., Livi R., Politi A. Thermal conduction in classical low-dimensional lattices // Phys. Rep. 2003. V. 377, No 1. P. 1–80. https://doi.org/10.1016/S0370-1573(02)00558-6.

3. Dhar A. Heat transport in low-dimensional systems // Adv. Phys. 2008. V. 57, No 5. P. 457–537. https://doi.org/10.1080/00018730802538522.

4. Zhang G., Li B. Impacts of doping on thermal and thermoelectric properties of nanomaterials // Nanoscale. 2010. V. 2, No 7. P. 1058–1068. https://doi.org/10.1039/C0NR00095G.

5. Cattaneo C. Sur une forme de l’equation de la chaleur eliminant la paradoxe d’une propagation instantantee // C. R. de l’Acad. des Sci. 1958. T. 247. P. 431–433.

6. Wang M., Cao B.-Y., Guo Z.-Y. General heat conduction equations based on the thermomass theory // Front. Heat Mass Transfer. 2010. V. 1, No 1. Art. 013004. https://doi.org/10.5098/hmt.v1.1.3004.

7. Sobolev S.L. Rapid phase transformation under local non-equilibrium diffusion conditions // Mater. Sci. Technol. 2015. V. 31, No 13. Pt. A & B. P. 1607–1617. https://doi.org/10.1179/1743284715Y.0000000051.

8. Лурье С.А., Белов П.А., Яновский Ю.Г. О моделировании теплопереноса в динамически деформируемых средах // МКМК. 2000. Т. 6, № 3. С. 436–444.

9. Belov V.N., Gorshkov A.G., Lurie S.A. Variational model of nonholonomic 4D-media // Mech. Solids. 2006. V. 41, No 6. P. 22–35.

10. Lurie S.A., Belov P.A. On the nature of the relaxation time, the Maxwell–Cattaneo and Fourier law in the thermodynamics of a continuous medium, and the scale effects in thermal conductivity // Continuum Mech. Thermodyn. 2020. V. 32, No 4. P. 709–728. https://doi.org/10.1007/s00161-018-0718-7.

11. Lomakin E.V., Lurie S.A., Belov P.A., Rabinskiy L.N. On the generalized heat conduction laws in the reversible thermodynamics of a continuous medium // Dokl. Phys. 2018. V. 63, No 12. P. 503–507. https://doi.org/10.1134/S102833581812011X.

12. Belov P.A., Lurie S.A. On variation models of the irreversible processes in mechanics of solids and generalized hydrodynamics // Lobachevskii J. Math. 2019. V. 40, No 7. P. 896–910. https://doi.org/10.1134/S1995080219070060.

13. Belov P.A., Lurie S.A., Dobryanskiy V.N. Variational formulation of linear equations of coupled thermohydrodynamics and heat conductivity // Lobachevskii J. Math. 2020. V. 41, No 10. P. 1949–1963. https://doi.org/10.1134/S1995080220100042.

14. Gusev A.A., Lurie S.A. Wave-relaxation duality of heat propagation in Fermi–Pasta–Ulam chains // Mod. Phys. Lett. B. 2012. V. 26, No 22. P. 125–145. https://doi.org/10.1142/S021798491250145X.

15. Седов Л.И., Эглит М.Э. Построение неголономных моделей сплошных сред с учетом конечности деформаций и некоторых физико-химических эффектов // Докл. АН СССР. 1962. Т. 142, № 1. С. 54–57.

16. Sedov L.I. Mathematical methods for constructing new models of continuous media // Russ. Math. Surv. 1965. V. 20, No 5. P. 123–182. https://doi.org/10.1070/RM1965v020n05ABEH001191.

17. Белов П.А., Лурье С.А. Вариационная формулировка градиентной необратимой термодинамики // Вестн. ПНИПУ. Механ. 2023. № 5. С. 36–44.

18. Lu Q., Li X., Zhang X., Lu M., Chen Y. Perspective: Acoustic metamaterials in future engineering // Engineering. 2022. V. 17. P. 22–30. https://doi.org/10.1016/j.eng.2022.04.020.