Консервативная полностью дискретная схема МКЭ для нелинейного уравнения Клейна–Гордона
https://doi.org/10.26907/2541-7746.2023.3.190-207
Аннотация
Предложено семейство методов Петрова–Галеркина–МКЭ для решения нелинейного уравнения Клейна–Гордона. Дискретные схемы сформулированы в терминах решения задачи и его производной по времени и обеспечивают сохранение полной энергии на дискретном уровне. Численно исследована простейшая двухслойная схема подобного типа. На основе решения тестовых задач с гладкими решениями показано, что схема позволяет определить как решение задачи, так и его производную по времени с погрешностью порядка O(h2 + τ 2) в среднеквадратической норме, где τ и h характеризуют шаги сетки по времени и пространству соответственно.
Об авторах
Р. З. Даутов
Институт вычислительной математики и информационных технологий, Казанский (Приволжский) федеральный университет
Россия
Россия
Даутов Рафаил Замилович, доктор физико-математических наук, профессор
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008
Г. Р. Салимзянова
Институт вычислительной математики и информационных технологий, Казанский (Приволжский) федеральный университет
Россия
Россия
Салимзянова Гулина Ринатовна, студентка 2 курса магистратуры
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008
Список литературы
1. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х.М. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988. 694 c.
2. Браун О.М., Кившарь Ю.С. Модель Френкеля-Конторовой: Концепции, методы, приложения. М.: Физматлит, 2008. 519 с.
3. Bratsos A.G. A modified predictor-corrector scheme for the two-dimensional sine-Gordon equation // Numer. Algorithms. 2006. V. 43, No 4. P. 295–308. https://doi.org/10.1007/s11075-006-9061-3.
4. Bratsos A.G. The solution of the two-dimensional sine-Gordon equation using the method of lines // J. Comput. Appl. Math. 2007. V. 206, No 1. P. 251–277. https://doi.org/10.1016/j.cam.2006.07.002.
5. Bao W., Dong X. Analysis and comparison of numerical methods for the Klein–Gordon equation in the nonrelativistic limit regime // Numer. Math. 2012. V. 120, No 2. P. 189–229. https://doi.org/10.1007/s00211-011-0411-2.
6. Wang L., Chen W., Wang C. An energy-conserving second order numerical scheme for nonlinear hyperbolic equation with an exponential nonlinear term // J. Comput. Appl. Math. 2015. V. 280. P. 347–366. https://doi.org/10.1016/j.cam.2014.11.043.
7. Kang X., Feng W., Cheng К., Guo C. An efficient finite difference scheme for the 2d sine-Gordon equation // J. Nonlinear Sci. Appl. 2017. V. 10, No 6. P. 2998–3012. http://dx.doi.org/10.22436/jnsa.010.06.14.
8. Argyris J., Haase M., Heinrich J.C. Finite element approximation to two dimensional sine-Gordon solitons // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 1991. V. 86, No 1. P. 1–26. https://doi.org/10.1016/0045-7825(91)90136-T.
9. Wang Q., Cheng D. Numerical solution of damped nonlinear Klein–Gordon equations using variational method and finite element approach // Appl. Math. Comput. 2005. V. 162, No 1. P. 381–401. https://doi.org/10.1016/j.amc.2003.12.102.
10. Asgari Z., Hosseini S.M. Numerical solution of two-dimensional sine-Gordon and MBE models using Fourier spectral and high order explicit time stepping methods // Comput. Phys. Commun. 2013. V. 184, No 3. P. 565–572. https://doi.org/10.1016/j.cpc.2012.10.009.
11. Jiwari R., Pandit S., Mittal R.C. Numerical simulation of two-dimensional sine-Gordon solitons by differential quadrature method // Comput. Phys. Commun. 2012. V. 183, No 3. P. 600–616. https://doi.org/10.1016/j.cpc.2011.12.004.
12. Dehghan M., Shokri A. Numerical method for solution of the two-dimensional sine-Gordon equation using the radial basis functions // Math. Comput. Simul. 2008. V. 79, No 3. P. 700–715. https://doi.org/10.1016/j.matcom.2008.04.018.
13. Browder F.E. On non-linear wave equations // Math. Z. 1962. V. 80, No 3. P. 249–264.
14. Лионс Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М: Мир, 1972. 587 с.
15. Dehghan M., Mirzaei D. The boundary integral equation approach for numerical solution of the one-dimensional sine-Gordon equation // Numer. Methods Partial Differ. Equations. 2008. V. 24, No 6. P. 1405–1415. https://doi.org/10.1002/num.20325.
16. Khan K., Akbar M.A. Exact solutions of the (2+1)-dimensional cubic Klein–Gordon equation and the (3+1)-dimensional Zakharov–Kuznetsov equation using the modified simple equation method // J. Assoc. Arab Univ. Basic Appl. Sci. 2014. V. 15, No 1. P. 74–81. https://doi.org/10.1016/j.jaubas.2013.05.001.
Рецензия
Для цитирования:
Даутов Р.З., Салимзянова Г.Р. Консервативная полностью дискретная схема МКЭ для нелинейного уравнения Клейна–Гордона. Ученые записки Казанского университета. Серия Физико-математические науки. 2023;165(3):190-207. https://doi.org/10.26907/2541-7746.2023.3.190-207
For citation:
Dautov R.Z., Salimzyanova G.R. A conservative fully discrete finite element scheme for the nonlinear Klein–Gordon equation. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki. 2023;165(3):190-207. (In Russ.) https://doi.org/10.26907/2541-7746.2023.3.190-207
Просмотров:
204
Послать статью по эл. почте 