Исследована начально-краевая задача для системы параболических уравнений, возникающая при изучении течения бинарной смеси в горизонтальном канале, стенки которого неоднородно нагреваются. Задача сведена к последовательно решаемым линейным начально-краевым задачам с условиями Дирихле или Неймана, одна из которых является обратной с нелокальным условием переопределения. Решение построено с помощью метода Фурье, дано обоснование, что оно является классическим. Обсуждается вопрос установления решения на больших временах.

   Рассмотрена эллиптическая система из n уравнений, главной частью которой является оператор Бицадзе (квадрат оператора Коши – Римана), а младший член состоит из произведения заданной матриц-функции на сопряжение искомой вектор-функции. Система исследована в банаховом пространстве вектор-функций, ограниченных и равномерно непрерывных по Гёльдеру во всей комплексной плоскости. Установлено, что задача о решении системы в указанном пространстве может быть не нётеровой, приведен пример однородной системы, имеющей бесконечное число линейно независимых решений. Как известно, для многих классов эллиптических систем нётеровость граничных задач в компактной области эквивалентна наличию априорных оценок в соответствующих пространствах. В связи с этим представляется важным изучение вопросов, связанных с установлением априорных оценок для рассматриваемой системы в пространстве, указанном выше. Для случая слабо осциллирующих на бесконечности коэффициентов найдены
необходимые и достаточные условия справедливости априорной оценки. Эти условия записаны на языке спектра предельных матриц, образуемых по частичным пределам матрицы коэффициентов на бесконечности. На конкретных примерах показано, как строятся предельные матрицы и как выглядят условия, названные выше.

   Изучена одномерная задача линейной устойчивости динамических состояний локальных термодинамических равновесий относительно малых возмущений в случае, когда газ Власова – Пуассона содержит в себе электроны со стационарной функцией распределения, которая постоянна по физическому пространству и переменна по континууму скоростей. Прямым методом Ляпунова доказана абсолютная неустойчивость любого из рассматриваемых одномерных динамических состояний всякого локального термодинамического равновесия. Описана область применимости достаточного условия линейной устойчивости Ньюкомба–Гарднера–Розенблюта. Получена априорная экспоненциальная оценка снизу нарастания малых одномерных возмущений. Построены аналитические контрпримеры к спектральным теореме Ньюкомба – Гарднера и критерию Пенроуза. Теорема Ирншоу распространена с классической механики на статистическую.

   Рассмотрена возможность построения протокола обмена сообщениями над специальным классом формальных матриц B_n(R, P). Показано, что такая конструкция позволяет получить протоколы обмена сообщениями, использовав произвольные ассоциативные кольца и идеалы над ними.

   Охарактеризовано влияние формы внутреннего канала анодного узла плазмотрона на скорость плазменного потока. Рассмотрены три варианта формы анодного узла с конфузорной частью в виде конической поверхности длиной 50 мм: первый – с переходом диаметров с 12 до 6 мм; второй – с переходом диаметров с 12 до 8 мм; третий – с переходом диаметров с 12 до 10 мм. Выполнен компьютерный эксперимент с последующей верификацией путем проведения натурного эксперимента на лабораторной плазменной установке. Верификация показала удовлетворительную сходимость и согласуется с данными, представленными в литературе. Компьютерный эксперимент проведен с помощью метода конечных элементов. Выполнен литературный обзор конструкций плазменных установок, применяемых для получения порошков, нанесения функциональных покрытий и модификации поверхностей, а также программных пакетов, используемых для реализации метода конечных элементов при решении подобных задач. Разработаны рекомендации, имеющие практическое значение для потребителей и разработчиков плазмотронного оборудования. Определены формы анодного узла, позволяющие достигать сверхзвукового и дозвукового режимов течения плазменного потока.

   Получены формулы обращения интегральных уравнений, возникающих при исследовании задачи Трикоми для уравнения Лаврентьева – Бицадзе. Условия разрешимости вспомогательной переопределенной задачи в эллиптической части смешанной области найдены методом функции Грина. Установлена связь между функциями Грина задачи Дирихле и задачи N для уравнения Лапласа в виде интегральных уравнений, взаимно обращающих друг друга. Рассмотрены различные интегральные уравнения, в том числе разрешимые в явном виде, к которым сводится задача Трикоми. Явное решение характеристического сингулярного уравнения с ядром Коши получено без привлечения теории краевых задач для аналитических функций.

   Изучены возможности объединения известных приемов оптимизации структуры портфеля ценных бумаг (ПЦБ). Предложен метод, с помощью которого можно одновременно использовать пассивные и активные подходы к управлению структурой ПЦБ. Совместное применение названных способов основано на приемах диверсификации ПЦБ и поиске структуры портфеля, по составу максимально приближенной к структуре ПЦБ индексного фонда. Для оптимизации структуры ПЦБ в рамках традиционного подхода “доходность–риск” модифицирована целевая функция. Предложенная целевая функция, наряду с риском ПЦБ, описывает степень совпадения искомого распределения долей ценных бумаг портфеля с распределением, построенным с помощью индексного фонда. Установлено, что основные свойства оптимальных ПЦБ, полученных на основе подхода “доходность–риск”, имеют место и в рассматриваемом случае.

   Поставлена и решена задача о нестационарном течении вязкой жидкости, окружающей движущееся твердое цилиндрическое тело и имеющей внешнюю свободную границу. Жидкость испытывает периодические по времени воздействия, характеризующиеся наличием или отсутствием выделенного направления в пространстве. Постановка задачи включает в себя уравнение Навье – Стокса, уравнение неразрывности и условия на твердой и свободной границах жидкости. Обнаружены новые гидромеханические эффекты.

   Изучена неоднородная краевая задача Гильберта для верхней полуплоскости с конечным индексом и краевым условием на вещественной оси для одного обобщенного уравнения Коши – Римана с сингулярной точкой на вещественной оси. Получена структурная формула общего решения этого уравнения при ограничениях, приводящих к бесконечному индексу логарифмического порядка сопутствующей краевой задачи Гильберта для аналитических функций. Эта формула и результаты по разрешимости задачи Гильберта теории аналитических функций применены при решении поставленной краевой задачи.