Изучается совместная конвекция двух вязких теплопроводных жидкостей в трёхмерном слое с твёрдыми плоскими стенками. Предполагается, что поле скоростей подобно полю скоростей Хименца, а поле температур соответствует локальному нагреву (охлаждению) твёрдой нижней стенки. Эволюция этой системы описана уравнениями Обербека–Буссинеска в каждой жидкости. Возникающая нелинейная сопряжённая интегродифференциальная краевая задача является обратной, поскольку продольные градиенты давления должны находиться совместно с полем скоростей и температур. Для их нахождения поставлены интегральные условия переопределения, имеющие ясный физический смысл – замкнутость потока. Поставленная обратная начально-краевая задача описывает конвекцию в двухслойной системе, возникающую вблизи точки экстремума температуры на нижней твёрдой стенке. При малых числах Марангони задача аппроксимирована линейно (число Марангони играет роль числа Рейнольдса для уравнений Навье–Стокса). На основе полученных априорных оценок даны достаточные условия выхода нестационарного решения на стационарный режим с ростом времени.

Исследованы критические сжимающие напряжения, при которых образец композитного материла, образованный модифицированными волокнами, остается прямым, в то время как волокна внутри материала изогнуты. Предположено, что рассматриваемый модифицированный композит состоит из трех фаз – волокна, вискеризованного межфазного слоя и матрицы. Рассмотрен частный пример композитного материала, который состоит из углеродного волокна, вискеризованного слоя, образованного углеродными нанотрубками и эпоксидной матрицей, и эпоксидной матрицы. Оценены физические параметры композитного материала, влияющие на критические сжимающие напряжения, и предложены методы их определения. Для определения эффективных свойств включения и связующего композитного материала использованы методы Фойхта и Рейса, а для оценки эффективных свойств межфазного вискеризованного слоя – метод трех фаз. Определены степени влияния длины волны волокна и фазового сдвига (параметров, характеризующих механизм разрушения композитного материала) на величину критического сжимающего напряжения. Установлено, при каких длинах волн происходит разрушение композитного материала. Также проведен анализ влияния объемного содержания модифицированного включения на минимальное критическое значение сжимающего напряжения. Полученные результаты для модифицированных композитов сравнены с результатами для классических композитов с аналогичным объемным содержанием включения.

В статье развиваются методы математического моделирования несовместных конечных деформаций гибких пластин. Несовместные деформации моделируются в рамках дифференциально-геометрической теории непрерывно распределенных дефектов. Для построения уравнений равновесия используются асимптотические разложения конечных мер деформаций по двум малым параметрам. Первый из них характеризует порядок малости перемещений из отсчетной (самонапряженной) формы, а второй – толщину. Асимптотические порядки различны для прогибов и перемещений в плоскости пластины, а также их производных и выбраны таким образом, чтобы при дополнительных предположениях – о возможности пренебрежения отдельными слагаемыми получаемых выражений и о совместности деформаций – уравнения сводились бы к известной системе Феппля–фон Кармана.

Рассмотрен вариант теории теплопроводности, в рамках которого вектор потока тепла имеет вес 1. С этим псевдовектором ассоциируются псевдоинварианты, чувствительные к зеркальным отражениям и инверсиям трехмерного пространства. Основной целью исследования является построение вектора теплового потока, алгебраически подобного вектору микроповорота. Во главу угла исследования положено измерение элементарных объемов и площадей с помощью псевдоинвариантов, чувствительных к зеркальным отражениям. Для представления спинорных перемещений выбраны контравариантный псевдовектор микроповорота веса +1. Как следствие, тепловой поток и плотность массы оказались псевдотензорными величинами нечетного веса. В качестве термодинамического потенциала использована свободная энергия Гельмгольца, отнесенная к единице дублетного псевдоинвариантного объема, а в качестве функциональных аргументов выбраны температура, симметричные части и сопутствующие векторы для линейного асимметричного тензора деформаций и псевдотензора изгиба–кручения. Получено нелинейное уравнение теплопроводности и выполнена его линеаризация. Продемонстрировано, что для упругих микрополярных тел коэффициент теплопроводности и теплоемкость оказались псевдоскалярами нечетного веса, проявляющими чувствительность к указанным выше преобразованиям пространства.

Приведены математические постановки задач нестационарной теплопроводности, соответствующие моделям классической теплопроводности на основе закона Фурье, обобщённой теплопроводности на основе закона Каттанео–Вернотта–Лыкова (модель Максвелла–Каттанео) и обобщённым моделям Грина–Нагди II-го и III-го типов. С использованием интегральных преобразований Фурье по пространственным координатам и Лапласа по времени построены фундаментальные решения уравнений классической и обобщённых моделей теплопроводности Максвелла–Каттанео, Грина–Нагди II-го типа и Грина–Нагди III-го типа. Представлены и проанализированы графические результаты. Показаны отличия рассмотренных моделей теплопроводности и даны рекомендации по их применению в практических расчётах.