Теплопроводность микрополярных тел, чувствительных к зеркальным отражениям пространства

Рассмотрен вариант теории теплопроводности, в рамках которого вектор потока тепла имеет вес 1. С этим псевдовектором ассоциируются псевдоинварианты, чувствительные к зеркальным отражениям и инверсиям трехмерного пространства. Основной целью исследования является построение вектора теплового потока, алгебраически подобного вектору микроповорота. Во главу угла исследования положено измерение элементарных объемов и площадей с помощью псевдоинвариантов, чувствительных к зеркальным отражениям. Для представления спинорных перемещений выбраны контравариантный псевдовектор микроповорота веса +1. Как следствие, тепловой поток и плотность массы оказались псевдотензорными величинами нечетного веса. В качестве термодинамического потенциала использована свободная энергия Гельмгольца, отнесенная к единице дублетного псевдоинвариантного объема, а в качестве функциональных аргументов выбраны температура, симметричные части и сопутствующие векторы для линейного асимметричного тензора деформаций и псевдотензора изгиба–кручения. Получено нелинейное уравнение теплопроводности и выполнена его линеаризация. Продемонстрировано, что для упругих микрополярных тел коэффициент теплопроводности и теплоемкость оказались псевдоскалярами нечетного веса, проявляющими чувствительность к указанным выше преобразованиям пространства.

1. Lakes R. Elastic and viscoelastic behavior of chiral materials // Int. J. Mech. Sci. 2001. V. 43, No 7. P. 1579–1589. https://doi.org/10.1016/S0020-7403(00)00100-4.

2. Mackay T.G., Lakhtakia A. Negatively refracting chiral metamaterials: A review // SPIE Rev. 2010. V. 1, No 1. Art. 018003. https://doi.org/10.1117/6.0000003.

3. Tomar S.K., Khurana A. Wave propagation in thermo-chiral elastic medium // Appl. Math. Modell. 2013. V. 37, No 22. P. 9409–9418. https://doi.org/10.1016/j.apm.2013.04.029.

4. Besdo D. Ein beitrag zur nichtlinearen Theorie des Cosserat–Kontinuums // Acta Mech. 1974. V. 20, No 1. P. 105–131. https://doi.org/10.1007/BF01374965.

5. Nowacki W. Theory of Micropolar Elasticity. Berlin: Springer, 1972. 285 р.

6. Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. Oxford: Pergamon Press, 1986. 383 p.

7. Dyszlewicz J. Micropolar Theory of Elasticity. Berlin, Heidelberg: Springer, 2004. 345 p. https://doi.org/10.1007/978-3-540-45286-7.

8. Truesdell C., Toupin R. The classical field theories // Principles of Classical Mechanics and Field Theory / Ed. by S. Flu¨gge. Book Ser.: Encyclopedia of Physics. V. III/1. Berlin, Go¨ttingen, Heidelberg: Springer, 1960. P. 226–902. https://doi.org/10.1007/978-3-642-45943-6_2.

9. Схоутен Я.А. Тензорный анализ для физиков. М.: Наука, 1965. 456 с.

10. Сокольников И.С. Тензорный анализ. Теория и применения в геометрии и в механике сплошных сред. М.: Наука, 1971. 376c.

11. Synge J.L., Schild A. Tensor Calculus. New York: Dover Publ., 1978. 334 p.

12. Das A.J. Tensors. The Mathematics of Relativity Theory and Continuum Mechanics. Berlin: Springer Sci. & Bus. Media, 2007. 290 p. https://doi.org/10.1007/978-0-387-69469-6.

13. Гуревич Г.Б. Основы теории алгебраических инвариантов. М., Л.: ОГИЗ, ГИТТЛ, 1948. 408 с.

14. Veblen O., Thomas T.Y. Extensions of relative tensors // Trans. Am. Math. Soc. 1924. V. 26, No 3. P. 373–377. https://doi.org/10.2307/1989146.

15. Веблен О. Инварианты дифференциальных квадратичных форм. М.: Изд-во ин. лит., 1948. 139 с.

16. Радаев Ю.Н., Мурашкин Е.В. Псевдотензорная формулировка механики гемитропных микрополярных сред // Пробл. прочн. и пластичн. 2020. Т. 82, № 4. С. 399–412. https://doi.org/10.32326/1814-9146-2020-82-4-399-412.

17. Murashkin E.V., Radayev Y.N. On a micropolar theory of growing solids // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2020. Т. 24, № 3. С. 424–444. https://doi.org/10.14498/vsgtu1792.

18. Мурашкин Е.В., Радаев Ю.Н. К теории линейных гемитропных микрополярных сред // Вестн. ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Сер. Механ. пред. сост. 2020. № 4 (46). С. 16–24. https://doi.org/10.37972/chgpu.2020.89.81.031.

19. Murashkin E.V., Radaev Y.N. Coupled thermoelasticity of hemitropic media. Pseudotensor formulation // Mech. Solids. 2023. V. 58, No 3. P. 802–813. http://dx.doi.org/10.3103/s0025654423700127.

20. Murashkin E.V., Radaev Y.N. A negative weight pseudotensor formulation of coupled hemitropic thermoelasticity // Lobachevskii J. Math. 2023. V. 44, No 6. P. 2440–2449. https://doi.org/10.1134/S1995080223060392.

21. Radaev Y.N. Tensors with constant components in the constitutive equations of hemitropic micropolar solids // Mech. Solids. 2023. V. 58, No 5. P. 1517–1527. https://doi.org/10.3103/S0025654423700206.

22. Мурашкин Е.В., Радаев Ю.Н. Тензор силовых напряжений Схоутена и аффинорные плотностиположительноговеса//Пробл.прочн.ипластичн.2022.Т.84,№4.С.545– 558. https://doi.org/10.32326/1814-9146-2022-84-4-545-558.

23. Murashkin E.V., Radayev Y.N. The Schouten force stresses in continuum mechanics formulations // Mech. Solids. 2023. V. 58, No 1. P. 153–160. http://dx.doi.org/10.3103/s0025654422700029.

24. Мурашкин Е.В., Радаев Ю.Н. Алгебраический алгоритм систематического приведения одноточечных псевдотензоров к абсолютным тензорам // Вестн. ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Сер. Механ. пред. сост. 2022. № 1 (51). С. 17–26. https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.51.1.002.

25. Мурашкин Е.В., Радаев Ю.Н. Ковариантно постоянные тензоры в пространствах Евклида. Элементы теории // Вестн. ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Сер. Механ. пред. сост. 2022. № 2 (52). С. 106–115. https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.52.2.012.

26. Мурашкин Е.В., Радаев Ю.Н. Ковариантно постоянные тензоры в пространствах Евклида. Приложения к механике континуума // Вестн. ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Сер. Механ. пред. сост. 2022. № 2 (52). С. 118–127. https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.52.2.013.

27. Розенфельд Б.А. Многомерные пространства. М.: Наука, 1966. 648 с.

28. Poincar´e H. Sur les r´esidus des int´egrales doubles // Acta Math. 1887. T. 6. P. 321–380.

29. Poincar´e H. Analysis situs // J. ´Ecole Polytech. 1895. T. 2, No 1. P. 1–123.

30. Мурашкин Е.В., Радаев Ю.Н. О согласовании ориентаций тензорных элементов площади в микрополярном континууме, погружаемом во внешнее плоское пространство // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2021. Т. 25, № 4. С. 776–786. https://doi.org/10.14498/vsgtu1883.

31. Murashkin E.V., Radaev Y.N. On theory of oriented tensor elements of area for a micropolar continuum immersed in an external plane space // Mech. Solids. 2022. V. 57, No 2. P. 205–213. https://doi.org/10.3103/s0025654422020108.

32. Мурашкин Е.В. О формулировках краевых условий в задачах синтеза тканых 3d материалов // Вестн. ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Сер. Механ. пред. сост. 2021. № 1 (47). С. 114–121. https://doi.org/10.37972/chgpu.2021.1.47.010.