Несовместные деформации гибких пластин
https://doi.org/10.26907/2541-7746.2023.4.361-388
Аннотация
В статье развиваются методы математического моделирования несовместных конечных деформаций гибких пластин. Несовместные деформации моделируются в рамках дифференциально-геометрической теории непрерывно распределенных дефектов. Для построения уравнений равновесия используются асимптотические разложения конечных мер деформаций по двум малым параметрам. Первый из них характеризует порядок малости перемещений из отсчетной (самонапряженной) формы, а второй – толщину. Асимптотические порядки различны для прогибов и перемещений в плоскости пластины, а также их производных и выбраны таким образом, чтобы при дополнительных предположениях – о возможности пренебрежения отдельными слагаемыми получаемых выражений и о совместности деформаций – уравнения сводились бы к известной системе Феппля–фон Кармана.
Ключевые слова
theory of thin-walled elastic structures,
incompatible finite deformations of elastic plates,
mathematical modeling methods,
theory of continuously distributed defects,
system of Fo¨ppl–von Ka´rma´n equations,
numerical and analytical method,
iteration algorithm
При поддержке: Работа выполнена при поддержке гранта Российского научного фонда (проект № 22-21-00457)
Об авторе
С. А. Лычев
Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН
Россия
Россия
Сергей Александрович Лычев - доктор физико-математических наук, доцент, ведущий научный сотрудник лаборатории механики технологических процессов.
Пр-т Вернадского, д. 101, корп. 1, г. Москва, 119526
Список литературы
1. Zorman C., Mehregany M. Material aspects of microand nanoelectromechanical systems // Springer Handbook of Nanotechnology. Bhushan B. (Ed.). Ser.: Springer Handbooks. Berlin, Heidelberg: Springer, 2010. P. 333–356. https://doi.org/10.1007/978-3-642-02525-9_11.
2. Ciarlet P.G. A justification of the von Ka´rm´an equations // Arch. Ration. Mech. Anal. 1980. V. 73, No 4. P. 349–389. https://doi.org/10.1007/BF00247674.
3. Дедкова А.А., Глаголев П.Ю., Гусев Е.Э., Дюжев Н.А., Киреев В.Ю., Лычев С.А., Товарнов Д.А. Особенности деформирования круглых тонкопленочных мембран и экспериментальное определение их эффективных характеристик // ЖТФ. 2021. Т. 91, № 10. С. 1454–1465. https://doi.org/10.21883/JTF.2021.10.51357.121-21.
4. Бычков П.С., Лычев С.А., Бут Д.К. Экспериментальная методика определения эволюции формы изгиба тонкой подложки при электрокристаллизации меди в областях сложной формы // Вестн. Самарск. ун-та. Естественнонаучн. сер. 2019. Т. 25, № 4. С. 48–73.
5. Manzhirov A.V., Lychev S.A. On the equilibrium of accreted plates // Topical Problems in Solid and Fluid Mechanics / Ed. by A.V. Manzhirov, N.K. Gupta, D.A. Indeitsev. Delhi: Elite Publ. House Pvt Ltd., 2011. P. 294–300.
6. Лычев С.А, Лычева Т.Н., Манжиров А.В. Нестационарные колебания растущей круглой пластины // Изв. РАН. МТТ. 2011. №2. С. 199–208.
7. Lychev S. Equilibrium equations for transversely accreted shells // ZAMM. 2014. V. 94, No 1–2. P. 118–129. https://doi.org/10.1002/zamm.201200231.
8. Lychev S., Koifman K. Geometry of Incompatible Deformations: Differential Geometry in Continuum Mechanics. De Gruyter, 2019. 388 p. https://doi.org/10.1515/9783110563214.
9. Вольмир А.С. Гибкие пластинки и оболочки. М.: Гос. изд-во технико-теор. лит., 1956. 210 с.
10. Timoshenko S., Woinowsky-Krieger S. Theory of Plates and Shells. New York: McGrawHill, 1959. 580 p.
11. Freund L.B., Suresh S. Thin Film Materials. Stress, Defect Formation and Surface Evolution. Cambridge Univ. Press, 2004. 750 p.
12. Fo¨ppl A. Vorlesungen u¨ber Technische Mechanik. Bd. 5. Leipzig: B.G. Teubner Verlag, 1907.
13. Ka´rm´an T. Festigkeitsprobleme im Maschinenbau // Encyklopa¨die der mathematischen Wissenschaften. Bd. 4. Leipzig: B.G. Teubner Verlag, 1910.
14. Бидерман В.Л. Механика тонкостенных конструкций. М.: Машиностроение, 1977. 488 с.
15. Феодосьев В.И. Осесимметричные гибкие оболочки. В кн.: Расчеты на прочность в машиностроении. Т. 2. М.: МАШГИЗ, 1958.
16. Андреева Л.Е. Упругие элементы приборов. М.: МАШГИЗ, 1962. 455 с.
17. Knightly G.H. An existence theorem for the von Ka´rma´n equations // Arch. Ration. Mech. Anal. 1967. V. 27, No 3. P. 233–242. https://doi.org/10.1007/BF00290614.
18. Naumann J. An existence theorem for the v. K´arma´n equations under the condition of free boundary // Apl. Mat. 1974. V. 19, No 1. P. 17–27.
19. Bilbao S., Thomas O., Touz´e C., Ducceschi M. Conservative numerical methods for the Full von K´arm´an plate equations // Numer. Methods Partial Differ. Equations. 2015. V. 31, No 6. P. 1948–1970. https:/doi.org/10.1002/num.21974.
20. Ciarlet P.G., Rabie P. Les ´equations de von Ka´rma´n. Springer, 2006. 181 p.
21. Ciarlet P.G. Mathematical Elasticity: Theory of Shells. Ser.: Classics in Applied Mathematics. Soc. Ind. Appl. Math., 2022.
22. Borisovich A., Janczewska J. Stable and unstable bifurcation in the von Ka´rm´an problem for a circular plate // Abstr. Appl. Anal. 2005. V. 2005, No 8. Art. 845303. https://doi.org/10.1155/AAA.2005.889.
23. Van Gorder R.A. Asymptotic solutions for the Fo¨ppl–von Ka´rm´an equations governing deflections of thin axisymmetric annular plates // Int. J. Non-Linear Mech. 2017. V. 91. P. 8–21. https://doi.org/10.1016/j.ijnonlinmec.2017.02.004.
24. Yu Q., Xu H., Liao S. Coiflets solutions for Fo¨ppl–von Ka´rm´an equations governing large deflection of a thin flat plate by a novel wavelet-homotopy approach // Numer. Algorithms. 2018. V. 79. P. 993–1020. https://doi.org/10.1007/s11075-018-0470-x.
25. Frakes J.P., Simmonds J.G. Asymptotic solutions of the von Karman equations for a circular plate under a concentrated load // J. Appl. Mech. 1985. V. 52, No 2. P. 326–330. https://doi.org/10.1115/1.3169048.
26. Dickey R.W. Nonlinear bending of circular plates // SIAM J. Appl. Math. 1976. V. 30, No 1. P. 1–9.
27. Michell J.H. The flexure of a circular plate // Proc. London Math. Soc. 1902. V. s1-34, No 1. P. 223–228. https://doi.org/10.1112/plms/s1-34.1.223.
28. Polyanin A.D., Nazaikinskii V.E. Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists. 2nd ed. New York: Chapman and Hall/CRC Press, 2016. 1643 p. https://doi.org/10.1201/b19056.
29. Van Gorder R.A. Analytical method for the construction of solutions to the Fo¨ppl–von Ka´rma´n equations governing deflections of a thin flat plate // Int. J. Non-Linear Mech. 2012. V. 47, No 3. P. 1–6. https://doi.org/10.1016/j.ijnonlinmec.2012.01.004.
30. Reissner E. On finite deflections of circular plates // Proc. Symp. Appl. Math. 1949. V. 1. P. 213–219.
31. Zhang Y. Large deflection of clamped circular plate and accuracy of its approximate analytical solutions // Sci. China: Phys., Mech. Astron. 2016. V. 59, No 2. Art. 624602. https://doi.org/10.1007/s11433-015-5751-y.
Рецензия
Для цитирования:
Лычев С.А. Несовместные деформации гибких пластин. Ученые записки Казанского университета. Серия Физико-математические науки. 2023;165(4):361-388. https://doi.org/10.26907/2541-7746.2023.4.361-388
For citation:
Lychev S.A. Incompatible Deformations of Elastic Plates. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki. 2023;165(4):361-388. (In Russ.) https://doi.org/10.26907/2541-7746.2023.4.361-388
Просмотров:
211
Послать статью по эл. почте 