Качественные свойства решения одной сопряжённой задачи тепловой конвекции

Изучается совместная конвекция двух вязких теплопроводных жидкостей в трёхмерном слое с твёрдыми плоскими стенками. Предполагается, что поле скоростей подобно полю скоростей Хименца, а поле температур соответствует локальному нагреву (охлаждению) твёрдой нижней стенки. Эволюция этой системы описана уравнениями Обербека–Буссинеска в каждой жидкости. Возникающая нелинейная сопряжённая интегродифференциальная краевая задача является обратной, поскольку продольные градиенты давления должны находиться совместно с полем скоростей и температур. Для их нахождения поставлены интегральные условия переопределения, имеющие ясный физический смысл – замкнутость потока. Поставленная обратная начально-краевая задача описывает конвекцию в двухслойной системе, возникающую вблизи точки экстремума температуры на нижней твёрдой стенке. При малых числах Марангони задача аппроксимирована линейно (число Марангони играет роль числа Рейнольдса для уравнений Навье–Стокса). На основе полученных априорных оценок даны достаточные условия выхода нестационарного решения на стационарный режим с ростом времени.

1. Lin C. Note on a class of exact solutions in magneto-hydrodynamics // Arch. Ration. Mech. Anal. 1957. V. 1. P. 391–395. https://doi.org/10.1007/BF00298016.

2. Сидоров А.Ф. О двух классах решений уравнений механики жидкости и газа и их связи с теорией бегущих волн // Прикл. механ. и техн. физ. 1989. № 2. C. 34–40.

3. Pukhnachev V.V.Modelofaviscouslayerdeformationbythermocapillaryforces//Eur.J. Appl. Math. 2002. V. 13, No 2. P. 205–224. https://doi.org/10.1017/S0956792501004776.

4. Andreev V.K., Gaponenko Yu.A., Goncharova O.N., Pukhnachev V.V. Mathematical Models of Convection. Berlin/Boston: De Gruyter, 2020. 417 p.

5. Rezanova E. Numerical modelling of heat transfer in the layer of viscous incompressible liquid with free boundaries // EPJ Web Conf. 2017. V. 159. Art. 00047. https://doi.org/10.1051/epjconf/201715900047.

6. Аристов С.Н., Князев Д.В., Полянин А.Д.ТочныерешенияуравненийНавье-Стокса слинейнойзависимостьюкомпонентскоростиотдвухпространственныхпеременных // Теорет. основы хим. техн. 2009. T. 43, № 5. C. 547–566.

7. Азанов А.А., Андреев В.К. Решение задачи о ползущем движении жидкости со свободной границей со специальным полем скоростей в трёхмерной полосе // Некотор. акт. пробл. совр. матем. и матем. обр. Герц. чтен. 2021. Матер. научн. конф. СПб.: Изд. РГПУ им. А.И. Герцена. ВВМ. 2021. C. 42–54.

8. Andreev V.K., Lemeshkova E.N. Two-layer steady creeping thermocapillary flow in a three-dimensional channel // J. Appl. Mech. Tech. Phys. 2022. V. 63, No 1. P. 82–88. https://doi.org/10.1134/S0021894422010138.

9. Andreev V.K. On a creeping 3D convective motion of fluids with an isothermal interface // J. Sib. Fed. Univ. Math & Phys. 2020. V. 13, No 6. P. 661–669. https://doi.org/10.17516/1997-1397-2020-13-6-661-669.

10. Андреев В.К. Решение трёхмерных уравнений тепловой конвекции и его интерпретация // Некотор. акт. пробл. совр. матем. и матем. обр. Герц. чтен. 2020. Матер. научн. конф. СПб.: РГПУ им. А.И. Герцена. ВВМ. 2020. C. 4–8.

11. Андреев В.К., Лемешкова Е.Н. Тепловая конвекция двух несмешивающихся жидкостей в трехмерном канале с полем скоростей специального вида // ПММ. 2023. T. 87, № 2. C. 200–210.

12. Андреев В.К., Лемешкова Е.Н. Линейные задачи конвективных движений с поверхностями раздела. Сиб. фед. ун-т, 2018. 204 с.

13. Зейтулян Р.Х. Проблема термокапиллярной неустойчивости Бенара-Марангони // УФН. 1998. Т. 168. C. 259–286.

14. Андреев В.К. О неравенстве типа Фридрихса для составных областей // Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ. 2009. Т. 2, №2. C. 146–157.

15. Howann F. Der Einfluss grosser Za¨higkeit bei der Str¨omung um den Zylinder und um die Kugel // Z. Angew. Math. Mech. 1936. Bd. 16, H. 3. S. 153–164. https://doi.org/10.1002/zamm.19360160304.

16. Davey A. Boundary-layer flow at a saddle point of attachment // J. Fluid Mech. 1961. V. 10, No 4. P. 593–610. https://doi.org/10.1017/S0022112061000391.

17. Gorla R.S.R. Unsteady laminar axisymmetric stagnation flow over a circular cylinder // Dev. Mech. 1977. V. 9. P. 286–288.

18. Bekezhanova V.B., Andreev V.K., Shefer I.A. Influence of heat defect on the characteristics of a two-layer flow with the Hiemenz-type velocity // Interfacial Phenom. Heat Transfer. 2019. V. 7, No 4. P. 345–364. https://doi.org/10.1615/InterfacPhenomHeatTransfer.2020032777.