Работа сфокусирована на создании метода моделирования протяженных малых небесных объектов (extended small celestial – ESC-объекты), к которым в первую очередь относятся кометные системы. Особое внимание уделено возможности анализа структуры и изучению физических свойств таких небесных тел, учитывая, что современные теории образования Солнечной системы показывают достаточно сложную эволюционную динамику. Так как все объекты Солнечной системы эволюционно связаны, создание моделей и изучение структуры различных протяженных небесных объектов позволяет оценить общие эволюционные процессы, происходившие в Солнечной системе. Метод изолинейного моделирования (isolinear modeling – IM-метод) был протестирован на практике и позволил оценить активность процессов, происходящих при движении ESC-объектов в пространстве. Следует отметить, что IM-метод особенно важен при анализе долгопериодических комет, которые во многих случаях только единожды пересекают перигелий своей орбиты в обозримый промежуток существования человеческой цивилизации.

Предложена неявная двухслойная схема метода конечных элементов для решения уравнения Кирхгофа, которое представляет собой нелинейное нелокальное уравнение гиперболического типа и включает интеграл Дирихле. Дискретная схема сформулирована в терминах решения задачи и его производной по переменной времени и обеспечивает сохранение полной энергии на дискретном уровне. Показано, что решение схемы на слое по времени может быть эффективно получено методом Ньютона, несмотря на нелокальность уравнения. На основе решения тестовых задач с гладкими решениями установлено, что схема позволяет определить как решение задачи, так и его производную по времени с погрешностью порядка O(h² +τ²) в среднеквадратической норме, где τ и h характеризуют шаги сетки по времени и пространству соответственно.

Получены необходимые и достаточные условия существования решения Дирихле, разработан метод для вычисления решений Дирихле функционально-дифференциального уравнения с незапаздывающим линейным отклонением аргумента.

Предложен метод решения задачи выпуклого программирования. Он относится к группе методов отсечений, в которых для построения итерационных точек используется операция погружения области ограничений задачи в некоторые многогранные множества. Предлагаемый метод характерен следующим. Последовательность приближений строится в нем принадлежащей допустимому множеству, причем с условием релаксационности, и через конечное число шагов фиксируется ε-решение исходной задачи. Кроме того, метод позволяет получать на его основе смешанные сходящиеся алгоритмы, привлекая при желании к построению основных итерационных точек любые известные или новые релаксационные алгоритмы.

Для задачи о собственных колебаниях пологой оболочки с присоединённым осциллятором предложена новая симметричная вариационная постановка в гильбертовом пространстве. Установлено существование последовательности конечнократных положительных собственных значений с предельной точкой на бесконечности и соответствующей полной ортонормированной системы собственных векторов. Задача приближена сеточной схемой метода конечных элементов с эрмитовыми конечными элементами. Доказаны теоретические оценки погрешности приближённых решений. Приведены результаты вычислительных экспериментов, подтверждающие теоретические выводы.

Цели данного исследования – разработка, построение и программная реализация методов решения нелинейной задачи дифракции. В работе рассмотрено влияние нелинейной среды, заданной по закону Керра, на распространение волны, проходящей через объект. Представлены дифференциальная и интегральная формы задачи, а также нелинейное интегральное уравнение. Получены результаты решения задачи на различных телах с использованием различных расчетных сеток, представлены графики сходимости итерационных процессов и графические результаты. Приведены сравнения явного и неявного методов решения соответствующего интегрального уравнения.