Вариативная параметризация эллипсоидальной тонкой оболочки с реализацией на основе МКЭ

Представлен алгоритм конечно-элементного анализа напряженно-деформированного состояния оболочки в форме трехосного эллипсоида с вариативной параметризацией его срединной поверхности. В качестве элемента дискретизации выбран четырехугольный фрагмент срединной поверхности оболочки с узловыми неизвестными в виде перемещений и их первых производных по криволинейным координатам.
Реализованы два варианта аппроксимации перемещений через соответствующие узловые значения. В первом варианте известные аппроксимирующие функции применены для каждой компоненты вектора перемещения внутренней точки конечного элемента через узловые значения этой же компоненты. Во втором варианте указанные аппроксимирующие выражения использованы непосредственно для выражения вектора перемещения внутренней точки конечного элемента через векторные неизвестные узловых точек. После координатных преобразований каждая компонента вектора перемещения внутренней точки конечного элемента была выражена через узловые значения всех составляющих узловых неизвестных. Кроме того, в этих аппроксимирующих выражениях искомых перемещений внутренней точки конечного элемента содержатся параметры криволинейной системы координат, применяемой в расчете.

1. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1951. 334 с.

2. Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин. Рига: Зннатне, 1988. 283 с.

3. Кабриц C.A., Михайловский Е.И., Товстик П.Е., Черных К.Ф., Шамина В.А. Общая нелинейная теория упругих оболочек. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002. 388 с.

4. Пикуль В.В. Механика оболочек. Владивосток: Дальнаука, 2009. 535 с.

5. Storozhuk E.A., Maksimyuk V.A., Chernyshenko I.S. Nonlinear elastic state of a composite cylindrical shell with a rectangular hole // Int. Appl. Mech. 2019. V. 55, No 5. P. 504–514. doi: 10.1007/s10778-019-00972-0.

6. Klochkov Yu.V., Nikolaev A.P., Vakhnina O.V. Calculation of rotation shells using finite triangular elements with Lagrange multipliers in variative approximation of displacements // J. Mach. Manuf. Reliab. 2016. V. 45, No 1. P. 51–58. doi: 10.3103/S1052618816010076.

7. Badriev I.B., Paimushin V.N. Refined models of contact interaction of a thin plate with positioned on both sides deformable foundations // Lobachevskii J. Math. 2017. V. 38, No 5. P. 779–793. doi: 10.1134/S1995080217050055.

8. Ubaydulloev M.N., Serazutdinov M.N. Simulation and calculation of stress-strain state of thin-walled structures strengthened under load // Proceedings of the 7th International Conference on Industrial Engineering (ICIE 2021). Vol. 1 / Radionov A.A., Gasiyarov V.R. (Eds.). Ser.: Lecture Notes in Mechanical Engineering. Cham: Springer, 2022. P. 332–340. doi: 10.1007/978-3-030-85233-7_40.

9. Yakupov S.N., Kiyamov H.G., Yakupov N.M. Modeling a synthesized element of complex geometry based upon three-dimensional and two-dimensional finite elements // Lobachevskii J. Math. 2021. V. 42, No 9. P. 2263–2271. doi: 10.1134/S1995080221090316.

10. Klochkov Yu.V., Nikolaev A.P., Vakhnina O.V. Finite element analysis of shells of revolution using triangular discretization elements with corrective Lagrange multipliers // Moscow Univ. Mech. Bull. 2016. V. 71, No 5. P. 114–117. doi: 10.3103/S0027133016050034.

11. Storozhuk E.A., Maksimyuk V.A., Yatsura A.V. Stress–strain state near a hole in a shearcompliant composite cylindrical shell with elliptical cross-section // Int. Appl. Mech. 2018. V. 54, No 5. P. 559–567. doi: 10.1007/s10778-018-0909-8.

12. Golovanov A.I. Numerical Modeling of large elastoplastic strains in terms of principal stretches. I. Kinematics of elastoplastic strains // Russ. Aeronaut. 2010. V. 53, No 2. P. 161–166. doi: 10.3103/S1068799810020078.

13. Sultanov L.U. Analysis of finite elasto-plastic strains: Integration algorithm and numerical examples // Lobachevskii J. Math. 2018. V. 39, No 9. P. 1478–1483. doi: 10.1134/S1995080218090056.

14. Jebur A.K., Hassoun E.O., Abrahem H.A., Khayrullin F.S., Sakhbiev O.M. Shell stress analysis using a variational method based on three-dimensional functions with finite carriers // J. Appl. Eng. Sci. 2020. V. 18, No 1. P. 110–113. doi: 10.5937/jaes18-24130.

15. Kayumov R., Sulejmanov A., Strakhov D. Model of degradation of composite materials of building structure’s load-bearing elements // Proceedings of STCCE 2021: Selected Papers / Vatin N. (Ed.). Ser.: Lecture Notes in Civil Engineering. Vol.169. Cham: Springer, 2021. P. 239–249. doi: 10.1007/978-3-030-80103-8_26.

16. Sartorato M., de Medeiros R., Tita V. A finite element formulation for smart piezollectric composite shells: Mathematical formulation, computational analysis and experimental evaluation // Compos. Struct. 2015. V. 127. P. 185–198. doi: 10.1016/j.compstruct.2015.03.009.

17. Shiqiang L., Guoxing L., Zhihua W., Longmao Z., Guiying W. Finite element simulation of metallic cylindrical sandwich shells with graded aluminum tabular cores subjected to internal blast loading // Int. J. Mech. Sci. 2015. V. 96–97. P. 1–12. doi: 10.1016/j.ijmecsci.2015.03.011.

18. He X. Finite element analysis of torsional free vibration of adhesively bonded single-lap joints // Int. J. Adhes. Adhes. 2014. V. 48. P. 59–66. doi: 10.1016/j.ijadhadh.2013.09.017.

19. Nguyen N., Waas A.M. Nonlinear, finite deformation, finite element analysise // Z. Angew. Math. Phys. 2016. V. 67, No 9, art. 35. doi: 10.1007/s00033-016-0623-5.

20. Paznanova S.L., Vasilev G.P., Dineva P.S., Manolis G.D. Dynamic analysis of nanoheterogeneities in a finite-sized solid by boundary and finite element methods // Int. J. Solids Struct. 2016. V. 80. P. 1–18. doi: 10.1016/j.ijsolstr.2015.10.016.

21. Lei Z., Gillot F., Jezeguel L. Developments of the mixed grid isogeometric Reissner– Mindlin shell: Serendipity basis and modified reduced quadrature // Eur. J. Mech. – A/Solids. 2015. V. 54. P. 105–119. doi: 10.1016/j.euromechsol.2015.06.010.

22. Hanslo P., Larson M.G., Larson F. Tangential differential calculus and the finite element modeling of a large deformation elastic membrane problem // Comput. Mech. 2015. V. 56, No 1. P. 87–95. doi: 10.1007/s00466-015-1158-x.

23. Yamashita H., Valkeap¨a¨a A.I., Jayakumar P., Syqiyama H. Continuum mechanics based bilinear shear deformable shell element using absolute nodal coordinate formulation // J. Comput. Nonlinear Dyn. 2015. V. 10, No 5, art. 051012. doi: 10.1115/1.4028657.

24. Ren H. Fast and robust full-guadrature triangular elements for thin plates/shells with large deformations and large rotations // J. Comput. Nonlinear Dyn. – 2015. – V. 10, No 5, art. 051018. – doi: 10.1115/1.4030212.

25. Chi H., Talischi C., Lopez-Pamies O., Paulino G.H. A paradigm for higher-order polygonal elements in finite elasticity using a gradient correction scheme // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 2016. V. 306. P. 216–251. doi: 10.1016/j.cma.2015.12.025.

26. Bishop J.E. A displacement-based finite element formulation for general polyhedra using harmonic shape functions // Int. J. Numer. Methods Eng. 2014. V. 97, No 1. P. 1–31. doi: 10.1002/nme.4562.

27. Talischi C., Pereira A., Menezes I.F.M., Paulino G.H. Gradient correction for polygonal and polyhedral finite elements // Int. J. Numer. Methods Eng. 2015. V. 102, No 3–4. P. 728–747. doi: 10.1002/nme.4851.

28. Manzini G., Russo A., Sukumar N. New perspective on polygonal and polyhedral finite element method // Math. Models Methods Appl. Sci. 2014. V. 24, No 8. P. 1665–1699. doi: 10.1142/S0218202514400065.

29. Gain A.L., Talischi C., Paulino G.H. On the Virtual Element Method for threedimensional linear elasticity problems on arbitrary polyhedral meshes // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 2014. V. 282. P. 132–160. doi: 10.1016/j.cma.2014.05.005.

30. Beir˜ao da Veiga L., Lovadina C., Mora D. A Virtual Element Method for elastic and inelastic problems on polytope meshes // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 2015. V. 295. P. 327–346. doi: 10.1016/j.cma.2015.07.013.

31. Antonietti P.F., Beir˜ao V.L., Scacchi S., Verani M. A C 1 virtual element method for the Cahn–Hilliard equation with polygonal meshes // SIAM J. Numer. Anal. 2016. V. 54, No 1. P. 34–56. doi: 10.1137/15M1008117.

32. Klochkov Yu.V., Nikolaev A.P., Vakhnina O.V., Kiseleva T.A. Using Lagrange multipliers in the triangular element of a nonshallow shell under variable interpolation of displacements // J. Appl. Ind. Math. 2017. V. 11, No 4. P. 535–544. doi: 10.1134/S1990478917040111.

33. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. Москва: Наука, 1974. 177 с.

34. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Москва: Наука, 1976. 503 с.

35. Klochkov Yu.V., Nikolaev A.P., Vakhnina O.V., Klochkov M.Yu. Finit element model of pipeline discretization by prismatic elements // IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. 2019. V. 698, No 6, art. 066012. doi: 10.1088/1757-899X/698/6/066012.

36. Klochkov Yu.V., Nikolaev A.P., Fomin S.D., Vakhnina O.V., Sobolevskaya T.A., Klochkov M.Yu. A finite elemental algorithm for calculating the arbitrarily loaded shell using three-dimensional finite elements // ARPN J. Eng. Appl. Sci. 2020. V. 15, No 13. P. 1472–1481.

37. Zucco G., Groh R.M.J., Madeo A., Weaver P.M. Mixed shell element for static and buckling analysis of variable angle tow composite plates // Compos. Struct. 2016. V. 152. P. 324–338. doi: 10.1016/j.compstruct.2016.05.030