О некоторых оценках для эллиптических систем, обобщающих систему уравнений Бицадзе

   Рассмотрена эллиптическая система из n уравнений, главной частью которой является оператор Бицадзе (квадрат оператора Коши – Римана), а младший член состоит из произведения заданной матриц-функции на сопряжение искомой вектор-функции. Система исследована в банаховом пространстве вектор-функций, ограниченных и равномерно непрерывных по Гёльдеру во всей комплексной плоскости. Установлено, что задача о решении системы в указанном пространстве может быть не нётеровой, приведен пример однородной системы, имеющей бесконечное число линейно независимых решений. Как известно, для многих классов эллиптических систем нётеровость граничных задач в компактной области эквивалентна наличию априорных оценок в соответствующих пространствах. В связи с этим представляется важным изучение вопросов, связанных с установлением априорных оценок для рассматриваемой системы в пространстве, указанном выше. Для случая слабо осциллирующих на бесконечности коэффициентов найдены
необходимые и достаточные условия справедливости априорной оценки. Эти условия записаны на языке спектра предельных матриц, образуемых по частичным пределам матрицы коэффициентов на бесконечности. На конкретных примерах показано, как строятся предельные матрицы и как выглядят условия, названные выше.

1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, 1981. 448 с.

2. Байзаев С., Мухамадиев Э. Об индексе эллиптических операторов первого порядка на плоскости // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28, № 5. С. 818–827.

3. Берс Л., Джон Ф., Шехтер М. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966. 351 с.

4. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973. 576 с.

5. Векуа И.Н. Обобщённые аналитические функции. М.: Наука, 1988. 509 с.

6. Байзаев С. О решениях полиномиального роста многомерной обобщенной системы Коши–Римана // Уфимск. матем. журн. 2015. Т. 7, № 3. С. 3–8. doi: 10.13108/2015-7-3-3.

7. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976. 351 с.

8. Владимиров В.С. Обобщённые функции в математической физике. М.: Наука, 1976. 280 с.

9. Байзаев С., Рахимова М.А. О некоторых функциональных уравнениях в пространствах Шварца и их приложениях // Уфимск. матем. журн. 2018. Т. 10, № 1. С. 3–13. doi: 10.13108/2018-10-1-3.