Численное исследование двумерного уравнения Сивашинского для задач затвердевания бинарных сплавов
https://doi.org/10.26907/2541-7746.2025.4.607-626
Аннотация
Затвердевание бинарных сплавов представляет собой фазовый переход смеси двух металлов из жидкого состояния в твердое с образованием бикомпонентного материала. Изучение данного процесса связано с решением ряда сложных задач, являющихся предметом многих современных исследований в области термодинамики, диффузионного переноса, а также изменения макро- и микроструктуры веществ при охлаждении. Для математического описания затвердевания бинарных сплавов используется уравнение Сивашинского, которое относится к нелинейным дифференциальным уравнениям четвертого порядка в частных производных. Настоящая статья посвящена решению двумерного уравнения Сивашинского с периодическими граничными условиями методом Эйлера – Фурье. Численное исследование этого уравнения имеет особую значимость, поскольку его аналитические решения возможны только для простейших, тривиальных случаев. Проведена оценка погрешности приближенного решения. Кроме того, результаты теоретического анализа и численных экспериментов показали, что предложенный метод обеспечивает уменьшение массы для всех вычисленных решений. Рассмотрены три примера с различными начальными условиями.
Об авторах
Р. Абазари
Университет Мохагеха Ардебили
Иран
Иран
Реза Абазари, PhD, ассистент-профессор, кафедра математики
г. Ардебиль, Иран
К. Йилдирим
Университет Муш Альпарслан
Турция
Турция
Кенан Йилдирим, PhD, профессор, факультет математики
г. Муш, Турция
Список литературы
1. Caroli B., Caroli C., Roulet B. The Mullins-Sekerka instability in directional solidification of thin samples. J. Cryst. Growth, 1986, vol. 76, no. 1, pp. 31–49. https://doi.org/10.1016/0022-0248(86)90006-0.
2. Karma A., Rappel W.-J. Quantitative phase-field modeling of dendritic growth in two and three dimensions. Phys. Rev. E, 1998, vol. 57, no. 4, pp. 4323–4349. https://doi.org/10.1103/PhysRevE.57.4323.
3. Dantzig J.A., Rappaz M. Solidification. Ser.: Materials. Engineering Sciences. Boca Raton, FL, EPFL Press, 2009. 621 p.
4. Das A., Mittemeijer E.J. Simulation of solidification structures of binary alloys. Z. Metallkd., 2002, vol. 93, no. 5, pp. 459–467. http://dx.doi.org/10.3139/146.020459.
5. Rappaz M. et al. Solute redistribution during solidification: Principles and applications. J. Mater. Sci., 2008, vol. 43, no. 15, pp. 4890–4899.
6. Liotti E., Arteta C., Zisserman A., Lui A., Lempitsky V., Grant P.S. Crystal nucleation in metallic alloys using x-ray radiography and machine learning. Sci. Adv., 2018, vol. 4, no. 4, art. eaar4004. https://doi.org/10.1126/sciadv.aar4004.
7. Sivashinsky G.I. On cellular instability in the solidification of a dilute binary alloy. Phys. D, 1983, vol. 8, nos. 1–2, pp. 243–248. https://doi.org/10.1016/0167-2789(83)90321-4.
8. Gertsberg V.L., Sivashinsky G.I. Large cells in nonlinear Rayleigh-B´enard convection. Prog. Theor. Phys., 1981, vol. 66, no. 4, pp. 1219–1229. https://doi.org/10.1143/PTP.66.1219.
9. Sharma N., Sharma S. An efficient off-step exponential spline technique to solve Kuramoto–Sivashinsky and extended Fisher–Kolmogorov equations. Int. J. Comput. Methods, 2025, vol. 22, no. 5, art. 2450078. https://doi.org/10.1142/S0219876224500786.
10. Abazari R., Yildirim K. Numerical study of Sivashinsky equation using a splitting scheme based on Crank-Nicolson method. Math. Methods Appl. Sci., 2019, vol. 42, no. 16, pp. 5509–5521. https://doi.org/10.1002/mma.5454.
11. Ilati M., Dehghan M. Error analysis of a meshless weak form method based on radial point interpolation technique for Sivashinsky equation arising in the alloy solidification problem. J. Comput. Appl. Math., 2018, vol. 327, pp. 314–324. https://doi.org/10.1016/j.cam.2017.06.022.
12. Omrani K. A second-order splitting method for a finite difference scheme for the Sivashinsky equation. Appl. Math. Lett., 2003, vol. 16, no. 3, pp. 441–445. https://doi.org/10.1016/S0893-9659(03)80070-8.
13. Omrani K., Ben Mohamed M.L. A linearized difference scheme for the Sivashinsky equation. Far East J. Appl. Math., 2005, vol. 20, no. 2, pp. 179–188.
14. Benammou S., Omrani K. A finite element method for the Sivashinsky equation. J. Comput. Appl. Math., 2002, vol. 142, no. 2, pp. 419–431. https://doi.org/10.1016/S0377-0427(01)00370-3.
15. Omrani K. Numerical methods and error analysis for the nonlinear Sivashinsky equation. Appl. Math. Comput., 2007, vol. 189, no. 1, pp. 949–962. https://doi.org/10.1016/j.amc.2006.11.169.
16. Rouis M., Omrani K. On the numerical solution of two dimensional model of an alloy solidification problem. Model. Numer. Simul. Mater. Sci., 2016, vol. 6, no. 1, pp. 1–9. http://dx.doi.org/10.4236/mnsms.2016.61001.
17. Abazari R., Rezazadeh H., Akinyemi L., Inc M. Numerical simulation of a binary alloy of 2D Cahn–Hilliard model for phase separation. Comput. Appl. Math., 2022, vol. 41, no. 8, art. 389. https://doi.org/10.1007/s40314-022-02109-5.
18. Abazari R., Yildirim K. Numerical study of the 2D Cahn–Hilliard model of phase separation with logarithmic potential. Prik. Mekh. Tekh. Fiz., 2025, no. 2 (390), pp. 73–95. https://doi.org/10.15372/PMTF202315360.
19. Rai N., Mondal S. Spectral methods to solve nonlinear problems: A review. Partial Differ. Equations Appl. Math., 2021, vol. 4, art. 100043. https://doi.org/10.1016/j.padiff.2021.100043.
20. Moumni M., Douiri S.M., Kim J.S. Fourier-spectral method for the Landau–Lifshitz–Gilbert equation in micromagnetism. Results Appl. Math., 2023, vol. 19, art. 100380. https://doi.org/10.1016/j.rinam.2023.100380.
21. Khader M.M., Tedjani A.H. Numerical simulation for the fractional-order smoking model using a spectral collocation method based on the Gegenbauer wavelet polynomials. J. Appl. Anal. Comput., 2024, vol. 14, no. 2, pp. 847–863. https://doi.org/10.11948/20230178.
Рецензия
Для цитирования:
Абазари Р., Йилдирим К. Численное исследование двумерного уравнения Сивашинского для задач затвердевания бинарных сплавов. Ученые записки Казанского университета. Серия Физико-математические науки. 2025;167(4):607-626. https://doi.org/10.26907/2541-7746.2025.4.607-626
For citation:
Abazari R., Yildirim K. Numerical study of the 2D Sivashinsky equation for binary alloy solidification problems. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki. 2025;167(4):607-626. https://doi.org/10.26907/2541-7746.2025.4.607-626
Просмотров:
48
Послать статью по эл. почте 