Математическое моделирование динамического деформирования стержня-полосы, закрепленного на двухстороннем опорном элементе через упругие прослойки

Построена простейшая трансформационная модель динамического деформирования стержня-полосы, состоящего из двух участков по длине. Она основана на использовании на незакрепленном участке классической геометрически линейной модели Кирхгофа – Лява, а закрепленный участок конечной длины считается соединенным с жестким и неподвижным опорным элементом через упругие прослойки. На закрепленном участке прогибы стержня и прослоек считаются нулевыми, а для перемещений в осевом направлении в пределах толщин стержня и прослоек приняты аппроксимации по сдвиговой модели С.П. Тимошенко, подчиненные условиям непрерывности в точках их соединения между собой и неподвижности в точках соединения прослоек с опорным элементом. Сформулированы условия кинематического сопряжения незакрепленного и закрепленного участков стержня, при учете которых, исходя из вариационного принципа Даламбера – Лагранжа, получены для введенных в рассмотрение участков соответствующие уравнения движения и граничные условия, а также силовые условия сопряжения участков. На основе построенных уравнений найдены точные аналитические решения задач о свободных и вынужденных гармонических колебаниях стержня рассматриваемого класса. На их основе проведены численные эксперименты по определению собственных форм и частот изгибных колебаний, а также динамической реакции при резонансных колебаниях стержняполосы, выполненного из однонаправленного волокнистого композита на основе углеленты ЭЛУР-П и связующего XT-118. Показана значительная трансформация поперечных касательных напряжений при переходе через границу от незакрепленного участка стержня к закрепленному, а также их ярко выраженная локализация в области закрепленного участка, расположенной вблизи отмеченной границы.

1. Algazin S.D., Selivanov I.A. Natural vibration of a rectangular plate with mixed boundary conditions // J. Appl. Mech. Tech. Phys. 2021. V. 62, No 2. P. 238–244. https://doi.org/10.1134/S0021894421020073.

2. Algarray A.F.A., Jun H., Mahdi I.-E.M. Effects of end conditions of cross-ply laminated composite beams on their dimensionless natural frequencies // J. Appl. Mech. Tech. Phys. 2017. V. 58, No 6. P. 1108–1114. https://doi.org/10.1134/S0021894417060177.

3. Krylova E.Yu., Papkova I.V., Erofeev N.P., Zakharov V.M., Krys’ko V.A. Complex fluctuations of flexible plates under longitudinal loads with account for white noise // J. Appl. Mech. Tech. Phys. 2016. V. 57, No 4. P. 714–719. https://doi.org/10.1134/S0021894416040167.

4. Tüfekci M., Dear J.P., Salles L. Forced vibration analysis of beams with frictional clamps // Appl. Math. Modell. 2024. V. 128. P. 450–469. https://doi.org/10.1016/j.apm.2024.01.031.

5. Banks H.T., Inman D.J. On damping mechanisms in beams // J. Appl. Mech. 1991. V. 58, No 3. P. 716–723. https://doi.org/10.1115/1.2897253.

6. Asadi K., Ahmadian H., Jalali H. Micro/macro-slip damping in beams with frictional contact interface // J. Sound Vib. 2012. V. 331, No 2. P. 4704–4712. https://doi.org/10.1016/j.jsv.2012.05.026.

7. Ferri A.A., Bindemann A.C. Damping and vibrations of beams with various types of frictional support conditions // J. Vib. Acoust. 1992. V. 114, No 3. P. 289–296. https://doi.org/10.1115/1.2930260.

8. Paimushin V.N., Shishkin V.M. Deformation of thin-walled structural elements having fixed areas of finite dimensions on the boundary front surfaces // J. Appl. Mech. Tech. Phys. 2023. V. 64, No 2. P. 308–324. https://doi.org/10.1134/S0021894423020153.

9. Paimushin V.N., Shishkin V.M. Refined model of dynamic deformation of a flat rod with a finite-length fixed region on an outer surface // J. Appl. Mech. Tech. Phys. 2024. V. 65, No 1. P. 161–175. https://doi.org/10.1134/S0021894424010176.

10. Paimushin V.N., Firsov V.A., Shishkin V.M., Gazizullin R.K. Transformational deformation models of continuous thin-walled structural elements with support elements of finite sizes: Theoretical foundations, computational, and physical experiments // Z. Angew. Math. Mech. 2024. V. 104, No 2. Art. e202300214. https://doi.org/10.1002/zamm.202300214.

11. Yankovskii A.P. Critical analysis of the equations of statics in the bending theories of composite plates obtained on the basis of variational principles of elasticity theory. 1. General theories of high order // Mech. Compos. Mater. 2020. V. 56, No 3. P. 271–290. https://doi.org/10.1007/s11029-020-09880-8.

12. Yankovskii A.P. Critical analysis of the equations of statics in the bending theories of composite plates obtained on the basis of variational principles of elasticity theory. 2. Particular low-order theories // Mech. Compos. Mater. 2020. V. 56, No 4. P. 437–454. https://doi.org/10.1007/s11029-020-09895-1.

13. Паймушин В.Н., Фирсов В.А. Оболочки из стекла. Расчет напряженно-деформированного состояния. М.: Машиностроение, 1993. 208 с.

14. Паймушин В.Н., Шишкин В.М. Трансформационная модель деформирования стержня-полосы, закрепленного на двухсторонних скользящих опорах // ППП. 2024. Т. 86, № 2. C. 437–454. https://doi.org/10.32326/1814-9146-2024-86-2-215-234.

15. Norrie D.H., de Vries G. An Introduction to Finite Element Analysis. New York, NY, San Francisko, CA, London: Acad. Press, 1978. 314 p.

16. Zienkiewiez O.C. The Finite Element Method in Engineering Science. Morice P.B. (Ed.). London: McGraw-Hill, 1971. xiv, 521 p.

17. Цейтлин А.И. Об учете внутреннего трения в нормативных документах по динамическому расчету сооружений // СМРС. 1981. № 4. С 33–38.

18. Сорокин Е.С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем. М.: Госстройиздат, 1960. 131 с.

19. Василенко Н.В. Учет несовершенной упругости материала при механических колебаниях методом комплексных модулей. В кн.: «Рассеяние энергии при колебаниях механических систем». Киев: Наук. думка. 1974. С. 5–12.

20. Rikards R.B., Barkanov E.N. Determination of the dynamic characteristics of vibrationabsorbing coating by the finite-element method // Mech. Compos. Mater. 1992. V. 27, No 5. P. 529–534. https://doi.org/10.1007/BF00613477.

21. Paimushin V.N., Kholmogorov S.A. Physical-mechanical properties of a fiber-reinforced composite based on an ELUR-P carbon tape and XT-118 binder // Mech. Compos. Mater. 2018. V. 54, No 1. P. 2–12. https://doi.org/10.1007/s11029-018-9712-1.

22. Shoup T.E. A Practical Guide to Computer Methods for Engineers. Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall, 1979. 255 p.

23. Хазанов Х.С. Механические колебания систем с распределенными параметрами. Учебн. пособие. 1979. Самара: СГАУ, 2002. 82 с.