Об эквивалентности дифференциальной и интегральной формулировок задачи о собственных волнах слабонаправляющих диэлектрических волноводов
https://doi.org/10.26907/2541-7746.2025.3.566-587
Аннотация
Статья посвящена обоснованию метода граничных интегральных уравнений Мюллера, предназначенного для решения задачи о собственных волнах слабонаправляющих диэлектрических волноводов. Доказана теорема о спектральной эквивалентности исходной дифференциальной задачи и задачи для системы граничных интегральных уравнений Мюллера на физическом листе римановой поверхности, на которой разыскиваются собственные значения – постоянные распространения собственных волн. Для доказательства этого факта изучены области локализации спектров исходной задачи и так называемой «вывернутой наизнанку» задачи, порождающей фиктивные собственные значения. Получено достаточное условие эквивалентности: задачи эквивалентны, если вывернутая наизнанку задача имеет только тривиальное решение. Как следствие, показано, что метод граничных интегральных уравнений Мюллера позволяет находить только истинные собственные значения на физическом листе поверхности Римана. Это подтверждено результатами вычислительных экспериментов.
Об авторах
Е. Е. Шабардин
Казанский (Приволжский) федеральный университет
Россия
Россия
Егор Евгеньевич Шабардин, студент
г. Казань
Е. М. Карчевский
Казанский (Приволжский) федеральный университет
Россия
Россия
Евгений Михайлович Карчевский, доктор физико-математических наук, профессор
г. Казань
Список литературы
1. Snyder A.W., Love J.D. Optical Waveguide Theory. New York, NY: Springer, 1983. viii, 738 p. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-2813-1.
2. Kunz K.S., Luebbers R.J. The Finite Difference Time Domain Method for Electromagnetics. Boca Raton, FL: CRC Press, 1993. 464 p. https://doi.org/10.1201/9780203736708.
3. Taflove A., Hagness S.C. Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method. Boston, MA, London: Artech House, 2005. 1038 p.
4. Elsherbeni A.Z., Demir V. The Finite-Difference Time-Domain Method for Electromagnetics with MATLAB Simulations. Ser.: The ACES Series on Computational Electromagnetics and Engineering. SciTech Publ., 2015. 560 p. https://doi.org/10.1049/SBEW514E.
5. Obayya S. Computational Photonics. Chichester, Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, 2010. xv, 306 p. https://doi.org/10.1002/9780470667064.
6. Shao Y., Peng Z., Lim K.H., Lee J.-F. Non-conformal domain decomposition methods for time-harmonic Maxwell equations // Proc. R. Soc. A. 2012. V. 468, No 2145. P. 2433–2460. https://doi.org/10.1098/rspa.2012.0028.
7. Koczka G., Bauernfeind T., Preis K., B´ır´o O. An iterative domain decomposition method for solving wave propagation problems // Electromagnetics. 2014. V. 34, Nos 3–4. P. 210–221. https://doi.org/10.1080/02726343.2014.877751.
8. Beilina L., Lindstr¨om E. An adaptive finite element/finite difference domain decomposition method for applications in microwave imaging // Electronics. 2022. V. 11, No 9. Art. 1359. https://doi.org/10.3390/electronics11091359.
9. Wartak M.S. Computational Photonics: An Introduction with MATLAB. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2013. xiv, 452 p. https://doi.org/10.1017/CBO9780511794247.
10. Lavrinenko A.V., Lægsgaard J., Gregersen N., Schmidt F., Søndergaard T. Numerical Methods in Photonics. Boca Raton, FL: CRC Press, 2015. 364 p. https://doi.org/10.1201/b17408.
11. Dautov R.Z., Karchevskii E.M. Numerical modeling of optical fibers using the finite element method and an exact non-reflecting boundary condition // Comput. Methods Appl. Math. 2018. V. 18, No 4. P. 581–601. https://doi.org/10.1515/cmam-2017-0049.
12. Colton D., Kress R. Integral Equation Methods in Scattering Theory. Ser.: Classics in Applied Mathematics. V. 72. Philadelphia, PA: SIAM, 2013. 287 p.
13. M¨uller C. Foundations of the Mathematical Theory of Electromagnetic Waves. Ser.: Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. V. 155. Berlin, Heidelberg: Springer, 1969. viii, 356 p. https://doi.org/10.1007/978-3-662-11773-6.
14. Karchevskii E.M. Analysis of the eigenmode spectra of dielectric waveguides // Comput. Math. Math. Phys. 1999. V. 39, No 9. P. 1493–1498.
15. Karchevskii E.M. The fundamental wave problem for cylindrical dielectric waveguides // Differ. Equations. 2000. V. 36, No 7. P. 1109–1111. https://doi.org/10.1007/BF02754515.
16. Frolov A., Kartchevskiy E. Integral equation methods in optical waveguide theory // Beilina L., Shestopalov Y.V. (Eds.) Inverse Problems and Large-Scale Computations. Ser.: Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. V. 52. Cham: Springer, 2013. P. 119–133. https://doi.org/10.1007/978-3-319-00660-4_9.
17. Spiridonov A.O., Karchevskiy E.M. Projection methods for computation of spectral characteristics of weakly guiding optical waveguides // Proc. Int. Conf. Days on Diffraction 2013. St. Petersburg: IEEE, 2013. P. 131–135. http://dx.doi.org/10.1109/DD.2013.6712817.
18. Boriskina S.V., Sewell P., Benson T.M., Nosich A.I. Accurate simulation of two-dimensional optical microcavities with uniquely solvable boundary integral equations and trigonometric Galerkin discretization // J. Opt. Soc. Am. A. 2004. V. 21, No 3. P. 393–402. http://dx.doi.org/10.1364/JOSAA.21.000393.
19. Nosich A.I., Smotrova E.I., Boriskina S.V., Benson T.M., Sewell P. Trends in microdisk laser research and linear optical modelling // Opt. Quantum Electron. 2007. V. 39, No 15. P. 1253–1272. http://dx.doi.org/10.1007/s11082-008-9203-z.
20. Smotrova E.I., Byelobrov V.O., Benson T.M., Ctyrok´y J., Sauleau R., Nosich A.I. ˇ Optical theorem helps understand thresholds of lasing in microcavities with active regions // IEEE J. Quantum Electron. 2011. V. 47, No 1. P. 20–30. http://dx.doi.org/10.1109/JQE.2010.2055836.
21. Smotrova E.I., Tsvirkun V., Gozhyk I., Lafargue C., Ulysse C., Lebental M., Nosich A.I. Spectra, thresholds, and modal fields of a kite-shaped microcavity laser // J. Opt. Soc. Am. B. 2013. V. 30, No 6. P. 1732–1742. http://dx.doi.org/10.1364/JOSAB.30.001732.
22. Spiridonov A.O., Karchevskii E.M., Nosich A.I. Spectra, thresholds, and modal fields of a circular microcavity laser transforming into a square // Proc. 2015 17th Int. Conf. on Transparent Optical Networks (ICTON). Budapest: IEEE, 2015. P. 1–4. http://dx.doi.org/10.1109/ICTON.2015.7193654.
23. Spiridonov A.O., Karchevskii E.M. Mathematical and numerical analysis of the spectral characteristics of dielectric microcavities with active regions // Proc. 2016 Days on Diffraction (DD). St. Petersburg: IEEE, 2016. P. 390–395. http://dx.doi.org/10.1109/DD.2016.7756880.
24. Spiridonov A.O., Karchevskii E.M., Nosich A.I. Mathematical and numerical modeling of on-threshold modes of 2-D microcavity lasers with piercing holes // Axioms. 2019. V. 8, No 3. Art. 101. http://dx.doi.org/10.3390/axioms8030101.
25. Oktyabrskaya A.O., Repina A.I., Spiridonov A.O., Karchevskii E.M., Nosich A.I. Numerical modeling of on-threshold modes of eccentric-ring microcavity lasers using the Muller integral equations and the trigonometric Galerkin method // Opt. Commun. 2020. V. 476. Art. 126311. http://dx.doi.org/10.1016/j.optcom.2020.126311.
26. Spiridonov A.O., Oktyabrskaya A.O., Karchevskii E.M., Nosich A.I. Mathematical and numerical analysis of the generalized complex-frequency eigenvalue problem for two-dimensional optical microcavities // SIAM J. Appl. Math. 2020. V. 80, No 4. P. 1977–1998. http://dx.doi.org/10.1137/19M1261882.
27. Yi C.-H., Dietz B., Han J.-H., Ryu J.-W. Decay rates of optical modes unveiling the island structures in mixed phase space // Phys. Rev. A. 2025. V. 111, No 3. Art. 033509. https://doi.org/10.1103/PhysRevA.111.033509.
28. Du W., Li C., Sun J., Xu H., Yu P., Ren A., Wu J., Wang Z. Nanolasers based on 2D materials // Laser Photonics Rev. 2020. V. 14, No 12. Art. 2000271. http://dx.doi.org/10.1002/lpor.202000271.
29. Smotrova E.I., Nosich A.I., Benson T.M., Sewell P. Cold-cavity thresholds of microdisks with uniform and nonuniform gain: Quasi-3-D modeling with accurate 2-D analysis // IEEE J. Sel. Top. Quantum Electron. 2005. V. 11, No 5. P. 1135–1142. http://dx.doi.org/10.1109/JSTQE.2005.853848.
30. Smotrova E.I., Nosich A.I. Mathematical study of the two-dimensional lasing problem for the whispering-gallery modes in a circular dielectric microcavity // Opt. Quantum Electron. 2004. V. 36, No 1. P. 213–221. http://dx.doi.org/10.1023/B:OQEL.0000015641.19947.9c.
31. Herasymova D.O., Dukhopelnykov S.V., Natarov D.M., Zinenko T.L., Lucido M., Nosich A.I. Threshold conditions for transversal modes of tunable plasmonic nanolasers shaped as single and twin graphene-covered circular quantum wires // Nanotechnology. 2022. V. 33, No 49. Art. 495001. http://dx.doi.org/10.1088/1361-6528/ac8e0c.
32. Kaliberda M.E., Pogarsky S.A., Kostenko O.V., Nosych O.I., Zinenko T.L. Circular quantum wire symmetrically loaded with a graphene strip as the plasmonic micro/nano laser: Threshold conditions analysis // Opt. Express. 2024. V. 32, No 7. P. 12213–12227. https://doi.org/10.1364/OE.514643.
33. Yevtushenko F.O., Dukhopelnykov S.V., Zinenko T.L., Nosych O.I. Microsize graphene strip grating on gain substrate laser: Comparison of the H- and E-polarized mode threshold conditions // Opt. Express. 2025. V. 33, No 6. P. 14266–14287. https://doi.org/10.1364/OE.554771.
34. Oktyabrskaya A.O., Spiridonov A.O., Karchevskii E.M. Muller boundary integral equations for solving generalized complex-frequency eigenvalue problem // Lobachevskii J. Math. 2020. V. 41, No 7. P. 1377–1384. https://doi.org/10.1134/s1995080220070343.
35. Ketov I.V., Karchevskii E.M. Characteristic equations for true and fictitious eigenvalues of Muller boundary integral equations // Lobachevskii J. Math. 2023. V. 44, No 9. P. 4016–4027. http://dx.doi.org/10.1134/S1995080223090147.
36. Misawa R., Niino K., Nishimura N. Boundary integral equations for calculating complex eigenvalues of transmission problems // SIAM J. Appl. Math. 2017. V. 77, No 2. P. 770–788. https://doi.org/10.1137/16m1087436.
37. Steinbach O., Unger G. Combined boundary integral equations for acoustic scattering-resonance problems // Math. Methods Appl. Sci. 2016. V. 40, No 5. P. 1516–1530. https://doi.org/10.1002/mma.4075.
38. Shabardin E.E., Spiridonov A.O., Repina A.I., Karchevskii E.M. Numerical modeling of photonic crystal fibers using Muller boundary integral equations // Lobachevskii J. Math. 2024. V. 45, No 10. P. 4787–4797. https://doi.org/10.1134/S1995080224605861.
39. Abramowitz M., Stegun I.A. (Eds.) Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. National Bureau of Standards. Ser.: Applied Mathematics Series. V. 55. Washington, DC: US Gov. Print. Office, 1972. xiv, 1046 p.
40. Spiridonov A.O., Karchevskii E.M., Nosich A.I. Rigorous formulation of the lasing eigenvalue problem as a spectral problem for a Fredholm operator function // Lobachevskii J. Math. 2018. V. 39, No 8. P. 1148–1157. https://doi.org/10.1134/s1995080218080127.
41. Кетов И.В., Октябрьская А.О., Спиридонов А.О., Карчевский Е.М. Истинные и фиктивные собственные значения системы граничных интегральных уравнений Мюллера // Програм. продукты и сист. 2022. Т. 35, № 3. С. 316–328. https://doi.org/10.15827/0236-235X.139.316-328.
Рецензия
Для цитирования:
Шабардин Е.Е., Карчевский Е.М. Об эквивалентности дифференциальной и интегральной формулировок задачи о собственных волнах слабонаправляющих диэлектрических волноводов. Ученые записки Казанского университета. Серия Физико-математические науки. 2025;167(3):566-587. https://doi.org/10.26907/2541-7746.2025.3.566-587
For citation:
Shabardin E.E., Karchevskii E.M. On the equivalence of differential and integral formulations of the problem for eigenwaves of weakly guiding dielectric waveguides. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki. 2025;167(3):566-587. (In Russ.) https://doi.org/10.26907/2541-7746.2025.3.566-587
Просмотров:
55
Послать статью по эл. почте 