Консервативная схема метода конечных элементов для уравнения Кирхгофа
https://doi.org/10.26907/2541-7746.2023.2.115-131
Аннотация
Предложена неявная двухслойная схема метода конечных элементов для решения уравнения Кирхгофа, которое представляет собой нелинейное нелокальное уравнение гиперболического типа и включает интеграл Дирихле. Дискретная схема сформулирована в терминах решения задачи и его производной по переменной времени и обеспечивает сохранение полной энергии на дискретном уровне. Показано, что решение схемы на слое по времени может быть эффективно получено методом Ньютона, несмотря на нелокальность уравнения. На основе решения тестовых задач с гладкими решениями установлено, что схема позволяет определить как решение задачи, так и его производную по времени с погрешностью порядка O(h2 +τ2) в среднеквадратической норме, где τ и h характеризуют шаги сетки по времени и пространству соответственно.
Ключевые слова
При поддержке: Работа выполнена за счет средств Программы стратегического академического лидерства Казанского (Приволжского) федерального университета ("ПРИОРИТЕТ-2030").
Об авторах
Р. З. Даутов
Казанский (Приволжский) федеральный университет
Россия
Россия
Даутов Рафаил Замилович, доктор физико-математических наук, профессор
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008
М. В. Иванова
Казанский (Приволжский) федеральный университет
Россия
Россия
Иванова Мария Валерьевна, студентка 2 курса магистратуры
ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008
Список литературы
1. Kirchhoff G. Vorlesungen u¨ber mathematische Physik. Bd. 1: Mechanik. Leipzig: B.G. Teubner, 1876. 466 S.
2. Бернштейн С.Н. Новые приложения почти независимых величин // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1940. Т. 4, № 2. С. 137–150.
3. Poho˘zaev S.I. On a class of quasilinear hyperbolic equations // Math. USSR-Sb. 1975. V. 25, No 1. P. 145–158. URL: https://doi.org/10.1070/SM1975v025n01ABEH002203.
4. Похожаев С.И. Об одном квазилинейном гиперболическом уравнении Кирхгофа // Дифференц. уравнения. 1985. Т. 21, № 1. С. 101–108.
5. Lions J.L. On some questions in boundary value problems of mathematical physics. Ser.: North-Holland Mathematics Studies. Vol. 30: Contemporary developments in continuum mechanics and partial differential equations. De La Penha G.M., Medeiros L.A.J. (Eds.). Amsterdam: North-Holland Publ. Co., 1978. P. 284–346. URL: https://doi.org/10.1016/S0304-0208(08)70870-3.
6. Arosio A., Panizzi S. On the well-posedness of the Kirchhoff string // Trans. Am. Math. Soc. 1996. V. 348, No 1. P. 305–330.
7. Arosio A. Averaged evolution equations. The Kirchhoff string and its treatment in scales of Banach spaces // Proc. 2nd Workshop on Functional-Analytic Methods in Complex Analysis and Applications to Partial Differential Equations. ICTP, Trieste, Jan. 25–29, 1993. Tutschke W., Mshimba A. (Eds.). River Edge, NJ: World Sci. Publ., 1995. P. 220– 254. URL: https://doi.org/10.1142/2927.
8. Lin X., Li F. Global existence and decay estimates for nonlinear Kirchhoff–type equation with boundary dissipation // Differ. Equations Appl. 2013. V. 5, No 2. P. 297–317. URL: https://doi.org/10.7153/dea-05-18.
9. Carrier G.F. On the non-linear vibration problem of the elastic string // Q. Appl. Math. 1945. V. 3, No 2. P. 157–165.
10. Cousin A.T., Frota C.L., Lar’kin N.A., Medeiros L.A. On the abstract model of the Kirchhoff–Carrier equation // Commun. Appl. Anal. 1997. V. 1, No 3. P. 389–404.
11. Cordeiro S.M.S., Pereira D.C., Ferreira J., Raposo C.A. Global solutions and exponential decay to a Klein–Gordon equation of Kirchhoff–Carrier type with strong damping and nonlinear logarithmic source term // Partial Differ. Equations Appl. Math. 2021. V. 3. Art. 100018. URL: https://doi.org/10.1016/j.padiff.2020.100018.
12. Зайцев В.В., Никулин А.В., Никулин В.В. Нелинейный резонанс в струнном ЭМР // Вестн. СамГУ. Естественнонаучн. сер. 2005. Т. 39, № 5. C. 125–130.
13. Gudi Т. Finite element method for a nonlocal problem of Kirchhoff type // SIAM J. Numer. Anal. 2002. V. 50, No 2. P. 657–668. URL: https://doi.org/10.1137/110822931.
14. Dond A.K., Pani A.K. A priori and a posteriori estimates of conforming and mixed FEM for a Kirchhoff equation of elliptic type // Comput. Methods Appl. Math. 2017. V. 17, No 2. P. 217–236. URL: https://doi.org/10.1515/cmam-2016-0041.
15. Srivastava V., Chaudhary S., Kumar V.V.K.S., Srinivasan B. Fully discrete finite element scheme for nonlocal parabolic problem involving the Dirichlet energy // J. Appl. Math. Comput. 2017. V. 53, No 1–2. P. 413–443. URL: https://doi.org/10.1007/s12190-0150975-6.
16. Kundu S., Chaudhary S., Pani A., Khebchareon M. Fully discrete finite element scheme for nonlocal parabolic problem involving the Dirichlet energy // Numer. Funct. Anal. Optim. 2016. V. 22, No 37. P. 719–752.
17. Chaudhary S., Srivastava V., Kumar V.V.K.S. Finite element scheme with Crank–Nicolson method for parabolic nonlocal problems involving the Dirichlet energy // Int. J. Comput. Methods. 2017. V. 14, No 5. Art. 1750053. URL: https://doi.org/10.1142/S0219876217500530.
18. Peradze J. A numerical algorithm for the nonlinear Kirchhoff string equation // Numer. Math. 2005. V. 102, No 2. P. 311–342. URL: https://doi.org/10.1007/s00211-005-0642-1.
19. Bilbao S., Smith J. Energy-conserving finite difference schemes for nonlinear strings // Acta Acust. Acust. 2005. V. 91, No 2. P. 299–311.
20. Shi D., Wu Y. Nonconforming quadrilateral finite element method for nonlinear Kirchhofftype equation with damping // Math. Methods Appl. Sci. 2020. V. 43, No 5. P. 2558–2576. URL: https://doi.org/10.1002/mma.6065.
21. Лионс Ж.Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / под ред. О.А. Олейник; пер. с фр. Л.Р. Волевич. М.: Мир, 1972. 587 с.
Рецензия
Для цитирования:
Даутов Р.З., Иванова М.В. Консервативная схема метода конечных элементов для уравнения Кирхгофа. Ученые записки Казанского университета. Серия Физико-математические науки. 2023;165(2):115–131. https://doi.org/10.26907/2541-7746.2023.2.115-131
For citation:
Dautov R.Z., Ivanova M.V. A Conservative Finite Element Scheme for the Kirchhoff Equation. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki. 2023;165(2):115–131. (In Russ.) https://doi.org/10.26907/2541-7746.2023.2.115-131
Просмотров:
162
Послать статью по эл. почте 