Нелинейный гидроупругий отклик стенки узкого канала, заполненного пульсирующей вязкой жидкостью, при продольных колебаниях его противоположной стенки

Поставлены и решены задачи гидроупругости для математического моделирования нелинейного отклика стенки узкого канала, заполненного пульсирующей вязкой жидкостью. Исследован плоский канал с параллельными жесткими стенками для случая продольных колебаний нижней стенки, имеющей нелинейно-упругое закрепление на торцах, за счет ее взаимодействия через слой жидкости в канале с противоположной вибрирующей стенкой. Динамика жидкости в канале изучена в пределах пульсирующего течения Куэтта с учетом инерции ее движения. Движение нижней стенки канала рассмотрено в рамках модели «масса на пружине», имеющей симметричную характеристику жесткости с кубической нелинейностью. Учет диссипативных свойств вязкой жидкости позволяет пренебречь влиянием начальных условий и перейти к рассмотрению краевой задачи математической физики для исследования установившихся вынужденных колебаний стенки канала. Асимптотический анализ данной задачи методом возмущений позволил свести ее к рассмотрению нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения, обобщающего уравнение Дуффинга. Его решение проведено методом Крылова – Боголюбова, что позволило определить нелинейный гидроупругий отклик стенки на основном резонансе в виде ее амплитудной и фазовой частотных характеристик. Указанные характеристики имеют вид неявных функций, что требует их численного исследования. Приведен пример такого исследования, который показал существенное влияние учета инерции движения жидкости и вариации толщины слоя жидкости в канале на амплитуду колебаний, резонансные частоты, а также частотный диапазон неустойчивых колебаний со скачкообразным изменением амплитуд.

1. Горшков А.Г., Морозов В.И., Пономарев А.Т., Шклярчук Ф.Н. Аэрогидроупругость конструкций. М.: Физматлит, 2000. 592 с.

2. Pa¨ıdoussis M.P. Fluid-Structure Interactions. V. 2: Slender structures and axial flow. London: Acad. Press, 2016. xviii, 924 p. https://doi.org/10.1016/C2011-0-08058-4.

3. Pa¨ıdoussis M.P., Price S.J., de Langre E. Fluid-Structure Interactions: Cross-Flow-Induced Instabilities. New York, NY: Cambridge Univ. Press, 2011. x, 402 p. https://doi.org/10.1017/CBO9780511760792.

4. Lamb H. On the vibrations of an elastic plate in contact with water // Proc. R. Soc. A. 1920. V. 98, No 690. P. 205–216. https://doi.org/10.1098/rspa.1920.0064.

5. Amabili M., Kwak M.K. Free vibrations of circular plates coupled with liquids: Revising the Lamb problem // J. Fluids Struct. 1996. V. 10, No 7. P. 743–761. https://doi.org/10.1006/jfls.1996.0051.

6. Kozlovsky Y. Vibration of plates in contact with viscous fluid: Extension of Lamb’s model // J. Sound Vib. 2009. V. 326, Nos 1–2. P. 332–339. https://doi.org/10.1016/j.jsv.2009.04.031.

7. Womersley J.R. Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known // J. Physiol. 1955. V. 127, No 3. P. 553–563. http://doi.org/10.1113/jphysiol.1955.sp005276.

8. Faria C.T., Inman D.J. Modeling energy transport in a cantilevered Euler–Bernoulli beam actively vibrating in Newtonian fluid // Mech. Syst. Signal Process. 2014. V. 45, No 2. P. 317–329. https://doi.org/10.1016/j.ymssp.2013.12.003.

9. Lomakin E., Rabinskiy L., Radchenko V., Solyaev Y., Zhavoronok S., Babaytsev A. Analytical estimates of the contact zone area for a pressurized flat-oval cylindrical shell placed between two parallel rigid plates // Meccanica. 2018. V. 53, No 15. P. 3831–3838. https://doi.org/10.1007/s11012-018-0919-y.

10. Бочкарев С.А., Лекомцев С.В., Матвеенко В.П. Гидроупругая устойчивость прямоугольной пластины, взаимодействующей со слоем текущей идеальной жидкости // Изв. РАН. МЖГ. 2016. № 6. С. 108–120. https://doi.org/10.7868/S0568528116060049.

11. Лекомцев С.В., Матвеенко В.П., Сенин А.Н. Собственные колебания и гидроупругая устойчивость пластины с пьезоэлементом, подключенным к внешней RL-цепи // Вестн. ПНИПУ. Механ. 2023. № 3. С. 97–113. https://doi.org/10.15593/perm.mech/2023.3.09.

12. Indeitsev D.A., Osipova E.V. Nonlinear effects in trapped modes of standing waves on the surface of shallow water // Tech. Phys. 2000. V. 45, No 12. P. 1513–1517. https://doi.org/10.1134/1.1333186.

13. Akrish G., Rabinovitch O., Agnon Y. Hydroelasticity and nonlinearity in the interaction between water waves and an elastic wall // J. Fluid Mech. 2018. V. 845. P. 293–320. https://doi.org/10.1017/jfm.2018.207.

14. Павлов В.А., Павловский А.С., Семенова Н.Г. Нелинейные эффекты в поле вязких волн, возбужденном пластиной конечных размеров // ЖТФ. 2019. Т. 89, № 10. С. 1500–1505. https://doi.org/10.21883/JTF.2019.10.48164.2147.

15. Schipitsyn V.D., Kozlov V.G. Oscillatory and steady dynamics of a cylindrical body near the border of vibrating cavity filled with liquid // Microgravity Sci. Technol. 2018. V. 30, No 1. P. 103–112. https://doi.org/10.1007/s12217-017-9583-4.

16. Щипицын В.Д. Колебания неосесимметричного цилиндра в заполненной жидкостью полости, совершающей вращательные осцилляции // Письма в ЖТФ. 2020. Т. 46, № 15. С. 43–46. https://doi.org/10.21883/PJTF.2020.15.49749.18349.

17. Tsarenko S.N., Kostenko A.V., Ignatkina E.L., Ponamareva E.A. Simulating interaction of liquid steel with gate wall at harmonic motion // IOP Conf. Ser.: Earth Environ. Sci. 2022. V. 988. Art. 052013. https://doi.org/10.1088/1755-1315/988/5/052013.

18. Taktarov N.G., Runova O.A., Khramova N.A. Mathematical model of the viscous fluid motion caused by the oscillation of a flat porous surface // ARPN J. Eng. Appl. Sci. 2018. V. 13, No 24. P. 9715–9721.

19. Базаркина О.А., Тактаров Н.Г. Вращательные колебания пористой сферической оболочки в вязкой жидкости // Изв. РАН. МЖГ. 2020. № 6. С. 98–105. https://doi.org/10.31857/S0568528120060043.

20. Сенницкий В.Л. О движении вязкой жидкости со свободной границей // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2024. Т. 166, № 1. С. 99–110. https://doi.org/10.26907/2541-7746.2024.1.99-110.

21. Сенницкий В.Л. Эффекты вращательного движения жидкости между криволинейными стенками // Изв. вузов. ПНД. 2025. Т. 33, вып. 2. С. 219–232. https://doi.org/10.18500/0869-6632-003155.

22. Турчак Л.И., Шидловский В.П. Математическое моделирование проблем газовой смазки // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2011. Т. 51, № 2. С. 329–348.

23. Редер Т., Тененев В.А., Чернова А.А. Численное моделирование неустойчивых режимов работы предохранительного клапана // Вестн. ТГУ. Матем. и механ. 2020. № 68. С. 141–157. https://doi.org/10.17223/19988621/68/13.

24. Королева М.Р., Мищенкова О.В., Редер Т., Тененев В.А., Чернова А.А. Численное моделирование процесса срабатывания предохранительного клапана // Комп. исслед. и моделир. 2018. Т. 10, № 4. С. 495–509. https://doi.org/10.20537/2076-7633-2018-10-4-495-509.

25. Popov V.S., Popova A.A. Mathematical modeling of the aeroelastic response of a disk having a nonlinear elastic suspension and interacting with a layer of viscous gas // J. Mach. Manuf. Reliab. 2024. V. 53, No 4. P. 370–378. https://doi.org/10.1134/S1052618824700249.

26. Попов В.С., Попова А.А. Нелинейные аэроупругие колебания стенки плоского канала, заполненного вязким газом и установленного на вибрирующем основании // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2024. Т. 166, № 2. С. 220–237. https://doi.org/10.26907/2541-7746.2024.2.220-237.

27. Kurzin V.B. Streamwise vibrations of a plate in a viscous fluid flow in a channel, induced by forced transverse vibrations of the plate // J. Appl. Mech. Tech. Phys. 2011. V. 52, No 3. P. 459–463. https://doi.org/10.1134/S0021894411030163.

28. Mogilevich L.I., Popov V.S., Rabinsky L.N. Mathematical modeling of elastically fixed wall longitudinal oscillations of wedge-shaped channel under foundation vibration // Int. J. Comput. Civ. Struct. Eng. 2016. V. 12, No 4. P. 9–17.

29. Barulina M., Santo L., Popov V., Popova A., Kondratov D. Modeling nonlinear hydroelastic response for the endwall of the plane channel due to its upper-wall vibrations // Mathematics. 2022. V. 10, No 20. Art. 3844. https://doi.org/10.3390/math10203844.

30. Валландер С.В. Лекции по гидроаэромеханике. Л.: ЛГУ, 1978. 296 с.

31. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003. 840 с.

32. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. М.: Наука, 1991. 256 с.

33. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. 504 с.

34. Womersley J.R. XXIV. Oscillatory motion of a viscous liquid in a thin-walled elastic tube–I: The linear approximation for long waves // London, Edinburgh, Dublin, Philos. Mag. J. Sci. Ser. 7. 1955. V. 46, No 373. P. 199–221. http://dx.doi.org/10.1080/14786440208520564.

35. Van Dyke M. Perturbation Methods in Fluid Mechanics. Stanford, CA: The Parabolic Press, 1975. xiv, 271 p.

36. Nayfeh A.H. Problems in Perturbations. New York, NY: Wiley, 1985. 556 p.

37. Popov V.S., Mogilevich L.I., Popova A.A. Nonlinear oscillations of a plate resting on a nonlinear elastic foundation and forming the bottom of a plane channel filled with a viscous gas // Russ. J. Nonlinear Dyn. 2024. V. 20, No 4. P. 581–599. https://doi.org/10.20537/nd241101.

38. Попов В.С., Попова А.А. Моделирование гидроупругих колебаний стенки канала, имеющей нелинейно-упругую опору // Комп. исслед. и моделир. 2022. Т. 14. № 1. С. 79–92. https://doi.org/10.20537/2076-7633-2022-14-1-79-92.

39. Nayfeh A.H., Mook D.T. Nonlinear Oscillations. New York, NY: Wiley, 1979. xiv, 704 p.

40. Brennan M.J., Kovacic I., Carrella A., Waters T.P. On the jump-up and jump-down frequencies of the Duffing oscillator // J. Sound Vib. 2008. V. 318, Nos 4–5. P. 1250–1261. https://doi.org/10.1016/j.jsv.2008.04.032.