О некоторых свойствах коэффициентов в методе структурных функций
https://doi.org/10.26907/2541-7746.2025.2.244-266
Аннотация
Исследованы параметры метода структурных функций – способа построения приближенного решения задач теории упругости для неоднородных тел. Доказана эквивалентность двух существующих подходов к вычислению структурных функций; расширен список свойств структурных функций. Метод структурных функций основан на представлении перемещений в неоднородном теле в виде ряда по производным перемещений в однородном (сопутствующем) теле. Сопутствующее тело предполагается имеющим ту же геометрию, что и неоднородное, и нагруженным так же, как неоднородное тело. При решении практических задач представление решения в виде ряда необходимо заменить частичной суммой упомянутого ряда. Для частного вида приближенного решения сопутствующей задачи показана взаимосвязь количества слагаемых в частичной сумме упомянутого ряда и порядка приближения решения сопутствующей задачи; приведены соображения для выбора упругих свойств сопутствующего тела.
При поддержке: Исследование выполнено в рамках государственного задания МГУ им. М.В. Ломоносова
Об авторе
Л. А. Кабанова
Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова
Россия
Россия
Любовь Александровна Кабанова, младший научный сотрудник
Список литературы
1. Горбачев В.И. Вариант метода осреднения для решения краевых задач неоднородной упругости: автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Москва, 1991.
2. Горбачев В.И. Об эффективных коэффициентах упругости неоднородного тела // Изв. РАН. МТТ. 2018. № 4. С. 115–126. https://doi.org/10.31857/S057232990000703-3.
3. Горбачев В.И. Дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами в механике неоднородных тел // Изв. РАН. МТТ. 2020. № 3. С. 114–121. https://dx.doi.org/10.31857/S0572329920030071.
4. Победря Б.Е. Механика композиционных материалов. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1984. 336 с.
5. Voigt W. Ueber die Beziehung zwischen den beiden Elasticit¨atsconstanten isotroper K¨orper // Ann. Phys. 1889. Bd. 274, H. 12. S. 573–587. https://doi.org/10.1002/andp.18892741206.
6. Reuss A. Berechnung der Fließgrenze von Mischkristallen auf Grund der Plastizit¨atsbedingung f¨ur Einkristalle // Z. Angew. Math. Mech. 1929. Bd. 9, H. 1. S. 49–58. https://doi.org/10.1002/zamm.19290090104.
7. Полилов А.Н., Татусь Н.А. Биомеханика прочности волокнистых композитов. 2018. М.: Физ.-матем. лит-ра. 328 с.
8. Hashin Z., Shtrikman S. A variational approach to the elastic behavior of multiphase minerals // J. Mech. Phys. Solids. 1963. V. 11, No 2. P. 127–140. https://doi.org/10.1016/0022-5096(63)90060-7.
9. Mori T., Tanaka K. Average stress in matrix and average elastic energy of materials with misfitting inclusions // Acta Mettall. 1973. V 21, No 5. P. 571–574. https://doi.org/10.1016/0001-6160(73)90064-3.
10. Eshelby J.D. The determination of the elastic field of an ellipsoidal inclusion and related problems // Proc. R. Soc. London, Ser. A. 1957. V. 241, No 1226. P. 376–396. https://doi.org/10.1098/rspa.1957.0133.
11. Волков-Богородский Д.Б., Лурье С.А. Интегральные формулы Эшелби в градиентной теории упругости // Изв. РАН. МТТ. 2010. № 4. С. 182–192. https://elibrary.ru/item.asp?id=15130462.
12. Соляев Ю.О. Самосогласованный метод Кренера для оценки эффективных констант градиентной теории упругости для поликристаллов // XIII Всероссийск. съезд по теор. и прикл. механ.: сб. тез. докл. в 4 т. Санкт-Петербург, 21–25 августа 2023 г. Т. 3. СПб.: Политех-Пресс, 2023. С. 1001–1002.
13. Kriven G., Lurie S.A., Thang T.Q., Orekhov A.A. Strength, stiffness and damping properties of whiskerized fiber composites with longitudinal shear // Compos.: Mech., Comput., Appl. 2021. V. 12, No 4. P. 1–22. https://doi.org/10.1615/CompMechComputApplIntJ.2021039237.
14. Lurie S.A., Kriven G.I. A study of the effective properties of compact bone tissues // Tech. Phys. Lett. 2024. V. 50, No 3. P. 268–275. https://doi.org/10.1134/S1063785024700378.
15. Григолюк Э.И., Куликов Г.М. Пути развития теории упругих многослойных пластин и оболочек // Вестн. ТГТУ. 2005. Т. 11, № 2. С. 439–448.
16. Murakami H. Laminated composite plate theory with improved in-plane responses // J. Appl. Mech. 1986. V. 53, No 3. P. 661–666. https://doi.org/10.1115/1.3171828.
17. Маковский С.В. Динамические характеристики модифицированных волокнистых композитов с вискеризованными волокнами: автореф. дис. ... канд. техн. наук. Москва, 2020.
18. Муйземнек А.Ю., Иванова Т.Н., Карташова Е.Д. Сопоставление результатов экспериментального и расчетного определения эффективных характеристик упругих свойств полимерных слоистых композитов из углеи стеклотканей // Вестн. ПНИПУ. Механ. 2021. № 2. С. 88–105. https://doi.org/10.15593/perm.mech/2021.2.09.
19. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М.: Наука, 1984. 352 с.
20. Rodr´ıguez-Ramos R., Otero J.A., Cruz-Gonz´alez O.L., Guinovart-D´ıaz R., Bravo-Castillero J., Sabina F.J., Padilla P., Lebon F., Sevostianov I. Computation of the relaxation effective moduli for fibrous viscoelastic composites using the asymptotic homogenization method // Int. J. Solids Struct. 2020. V. 190. P. 281–290. https://doi.org/10.1016/j.ijsolstr.2019.11.014.
21. Димитриенко Ю.И., Каримов С.Б., Димитриенко А.Ю. Моделирование конечных деформаций композиционных материалов на основе универсальных моделей 𝐴n и метода асимптотического осреднения // Матем. моделир. и числ. методы. 2024. № 2. С. 17–34. https://doi.org/10.18698/2309-3684-2024-2-1734.
22. Савенкова М.И. Применение метода осреднения к материалам с физически нелинейными свойствами: автореф. дис. ... канд. физ.-матем. наук. Москва, 2013.
23. Шешенин С.В., Скопцов К.А. Теория пластин, основанная на методе асимптотических разложений // Матем. моделир. и числ. методы. 2014. № 2. С 49–61.
24. Димитриенко Ю.И., Яковлев Д.О. Сравнительный анализ решений асимптотической теории многослойных тонких пластин и трехмерной теории упругости // Инж. журн.: наука и инновации. 2013. № 7 (19). С. 17. https://engjournal.bmstu.ru/catalog/mathmodel/technic/899.html.
25. Димитриенко Ю.И., Юрин Ю.В. Асимптотическая теория типа Тимошенко для тонких многослойных пластин // Матем. моделир. и числ. методы. 2018. № 1 (17). С. 16–40. https://doi.org/10.18698/2309-3684-2018-1-1640.
26. Власов А.Н. Сведение уравнения теории упругости со случайными коэффициентами на области с периодической структурой к усредненному уравнению теории упругости с постоянными коэффициентами. Эффективный тензор жесткости // МКМК. 2021. Т. 27, № 3. С. 309–322. https://doi.org/10.33113/mkmk.ras.2021.27.03.309_323.02.
27. Горбачев В.И. Метод тензоров Грина для решения краевых задач теории упругости неоднородных тел // Вычисл. механ. 1991. № 2. С. 61–76.
28. Горбачев В.И. Динамические задачи механики композитов // Изв. РАН. Сер. физ. 2011. Т. 75, № 1. С. 117–122.
29. Горбачев В.И., Емельянов АН. Осреднение уравнений моментной теории упругости неоднородного тела // Изв. РАН. МТТ. 2014. № 1. С. 95–107. https://elibrary.ru/item.asp?id=21404928.
30. Горбачев В.И. Инженерная теория сопротивления неоднородных стержней из композиционных материалов // Вестн. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естеств. науки. 2016. № 6. С. 56–72. https://doi.org/10.18698/1812-3368-2016-6-56-72.
31. Горбачев В.И. Инженерная теория деформирования неоднородных пластин из композиционных материалов // МКМК. 2016. Т. 22, № 4. С. 585–601.
32. Горбачев В.И., Гулин В.В. Точные решения некоторых задач теории упругости о равновесии неоднородной по ширине анизотропной полосы // Композ. и нанострукт. 2021. Т. 13, № 3–4. С. 120–126.
33. Соляев Ю.О., Горбачев В.И. Сопоставление методов Мори – Танака и Горбачева – Победри в задаче определения эффективных свойств композитов с пьезоактивными сферическими включениями // МКМК. 2019. Т. 25, № 1. С. 57–75. https://doi.org/10.33113/mkmk.ras.2019.25.01.057_075.05.
34. Kabanova L.A. The first-order structural functions method solution to the simply supported layered plate bending problem // Lobachevskii J. Math. 2022. V. 43, No 7. P. 1866–1877. https://doi.org/10.1134/s199508022210016x.
35. Кабанова Л.А. Сопоставление приближений решения задачи об изгибе линейно-упругой слоистой пластины, полученных методом структурных функций // Чебышевский сб. 2022. Т. 23, № 4 (85). С. 211–232. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2022-23-4-211-232.
36. Кабанова Л.А., Романов А.В. Сопоставление решений квазистатической задачи о нагружении пластины, построенных методом структурных функций и методом конечных элементов // Чебышевский сб. 2024. Т. 25, № 4. С. 175–196. https://doi.org/10.22405/2226-8383-2024-25-4-175-196.
37. Новацкий В. Теория упругости. 1975. М.: Мир. 872 с.
38. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. 1998. М.: Наука. 712 с.
39. Vasil’ev V.V., Lur’e S.A. On refined theories of beams, plates, and shells // J. Compos. Mater. 1992. V. 26, No 4. P. 546–557. https://doi.org/10.1177/002199839202600405.
40. Reddy J.N. Theory and Analysis of Elastic Plates and Shells. Boca Raton, FL: CRC Press, 2006. 568 p. https://doi.org/10.1201/9780849384165.
41. Carrera E. Theories and finite elements for multilayered plates and shells: A unified compact formulation with numerical assessment and benchmarking // Arch. Comput. Methods Eng. 2003. V. 10, No 3. P. 215–296. https://doi.org/10.1007/BF02736224.
42. Васильев В.В. Теория тонких упругих пластин – история и современное состояние проблемы // Изв. РАН. МТТ. 2024. № 2. С. 3–39. https://doi.org/10.31857/S1026351924060013.
43. Pagano N.J. Exact solutions for rectangular bidirectional composites and sandwich plates // J. Compos. Mater. 1970. V. 4, No 1. P. 20–34. https://doi.org/10.1177/002199837000400102.
Рецензия
Для цитирования:
Кабанова Л.А. О некоторых свойствах коэффициентов в методе структурных функций. Ученые записки Казанского университета. Серия Физико-математические науки. 2025;167(2):244-266. https://doi.org/10.26907/2541-7746.2025.2.244-266
For citation:
Kabanova L.A. On some properties of the coefficients in the structural functions method. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki. 2025;167(2):244-266. (In Russ.) https://doi.org/10.26907/2541-7746.2025.2.244-266
Просмотров:
13
Послать статью по эл. почте 