Аналитическая аппроксимация решения задачи Блазиуса в пограничном слое на плоской пластине

В последние годы изучение устойчивого потока вязкой жидкости приобрело значительный интерес из-за его обширного инженерного применения. В статье рассмотрена классическая задача из теории вязкого ламинарного стационарного пограничного слоя несжимаемой ньютоновской жидкости на плоской тонкой пластине (задача Блазиуса). Методом пристрелки совместно с численной схемой Рунге–Кутты четвертого порядка точности на большом интервале для очень мелкой сетки получено конечно-разностное решение этой задачи. Численные результаты сопоставлены с известными аналогичными расчетными тестовыми данными. Проведена оценка функции Блазиуса f(η) и ее двух производных B-сплайном третьего порядка, получено отличное совпадение с расчетами. Нелинейным методом наименьших квадратов (НМНК) установлена новая аналитическая корреляционная зависимость для функции Блазиуса, приближающая результаты проведенных расчетов в широком диапазоне автомодельной переменной η. Дано сравнение значений функции f , первой и второй ее производных с точными данными. Эти результаты находятся в полном согласии с ранее полученными решениями. Профиль продольной скорости в пограничном слое, определенный через производную f′ функции Блазиуса, может быть использован в качестве начального профиля скорости при численном моделировании турбулентных плоских и трехмерных течений несжимаемой жидкости.

1. Tollmien W., Schlichting H., G¨ortler H., Riegels F.W. ¨Uber Fl¨ussigkeitsbewegung bei sehr kleiner Reibung // Riegels F.W. (Hrsg.) Ludwig Prandtl Gesammelte Abhandlungen. Berlin, Heidelberg: Springer, 1961, S. 575–584. https://doi.org/10.1007/978-3-662-11836-8_43.

2. Prandtl L., Wieghardt K. ¨Uber ein neues Formelsystem f¨ur die ausgebildete Turbulenz // Nachr. Akad. Wiss. Goettingen, Math.-Phys. Kl., Math.-Phys.-Chem. Abt. 1945. S. 6–19.

3. White F.M. Viscous Fluid Flow. 1st ed. McGraw-Hill, 1974. P. 233–237.

4. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. 6-е изд. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. С. 6–34, 59–73.

5. White F.M. Viscous Fluid Flow. 2nd ed. McGraw-Hill, 1991. P. 233–253, 504–520.

6. Panton R.L. (Ed.) Incompressible Fluid Flow. New York, NY: Wiley, 1996. P. 581–591.

7. Rosenhead L. (Ed.) Laminar Boundary Layers: An Account of the Development, Structure, and Stability of Laminar Boundary Layers in Incompressible Fluids, together with a Description of the Associated Experimental Techniques. Oxford: Clarendon Press, 1963. P. 198–292, 419–420.

8. Burr K.P., Akylas T.R., Mei C.C. Chapter two. Two-dimensional laminar boundary layers. I-Campus Project. School-wide Program on Fluid Mechanics Modules on High Reynolds Number Flows. 2016. P. 1–33. https://web.mit.edu/fluids-modules/www/highspeed_flows/ver2/bl_Chap2.pdf.

9. Katopodes N.D. Chapter 9. Boundary-layer flow // Free-Surface Flow: Environmental Fluid Mechanics. Butterworth-Heinemann, 2019. P. 652–708. https://doi.org/10.1016/b978-0-12-815489-2.00009-5.

10. Blasius H. Grenzschichten in Fl¨ussigkeiten mit kleiner Reibung // Z. Math. Phys. 1908. Bd. 56. S. 1–37. URL: https://dokumen.tips/documents/blasius-h-1908-grenzschichten-in-fluessigkeiten-mit-kleiner-reibung.html.

11. Олейник О.А. О системе уравнений теории пограничного слоя // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1963. T. 3, № 3. С. 489–507. URL: https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=zvmmf&paperid=7851.

12. Nickel K. Einige Eigenschaften von L¨osungen der Prandtlschen Grenzschicht-Differential- gleichunge // Arch. Ration. Mech. Anal. 1958. Bd. 2, H. 1. S. 1–31. https://doi.org/10.1007/bf00277916.

13. Nickel K. Ein Eindeutigkeitssatz f¨ur instation¨are Grenzschichten // Math. Z. 1960. Bd. 74, H. 1. S. 209–220. https://doi.org/10.1007/BF01180484.

14. T¨opfer K. Bemerkung zu dem Aufsatz von H. Blasius: Grenzschichten in Fl¨ussigkeiten mit kleiner Reibung // Z. Math. Phys. 1912. Bd. 60. S. 397–398.

15. Hоwarth L. On the solution of the laminar boundary layer equations // Proc. R. Soc. London, Ser. A. 1938. V. 164, No 919. P. 547–579. https://doi.org/10.1098/rspa.1938.0037.

16. Liu Y., Kurra S.N. Solution of Blasius equation by variational iteration // Appl. Math. 2011. V. 1, No 1. P. 24–27. https://doi.org/10.5923/j.am.20110101.03.

17. He J.H. A simple perturbation approach to Blasius equation // Appl. Math. Comput. 2003. V. 140, Nos 2–3. P. 217–222. https://doi.org/10.1016/S0096-3003(02)00189-3.

18. Yun B.I. An iteration method generating analytical solutions for Blasius problem // J. Appl. Math. 2011. V. 2011, No 1. Art. 925649. https://doi.org/10.1155/2011/925649.

19. Wazwaz A.-M. The variational iteration method for solving two forms of Blasius equation on a half-infinite domain // Appl. Math. Comput. 2007. V. 188, No 1. P. 485–491. https://doi.org/10.1016/j.amc.2006.10.009.

20. Adomian G. A review of the decomposition method in applied mathematics // J. Math. Anal. Appl. 1988. V. 135, No 2. P. 501–544. https://doi.org/10.1016/0022-247X(88)90170-9.

21. Liao S.J. A uniformly valid analytic solution of two-dimensional viscous flow over a semi-infinite flat plate // J. Fluid Mech. 1999. V. 385. P. 101–128. https://doi.org/10.1017/s0022112099004292.

22. Parand K., Dehghan M., Taghavi A. Modified generalized Laguerre function Tau method for solving laminar viscous flow: The Blasius equation // Int. J. Numer. Methods Heat Fluid Flow. 2010. V. 20, No 7. P. 728–743. https://doi.org/10.1108/09615531011065539.

23. Aminikhah H., Kazemi S. Numerical solution of the Blasius viscous flow problem by quartic B-spline method // Int. J. Eng. Math. V. 2016, No 1. Art. 9014354. https://doi.org/10.1155/2016/9014354.

24. Motsa S.S. A new spectral local linearization method for nonlinear boundary layer flow problems // J. Appl. Math. 2013. V. 2013, No 1. Art. 423628. https://doi.org/10.1155/2013/423628.

25. Liao S.-J. An explicit, totally analytic approximate solution for Blasius’ viscous flow problems // Int. J. Non-Linear Mech. 1999. V. 34, No 4. P. 759–778. https://doi.org/10.1016/S0020-7462(98)00056-0.

26. Falkner V.M., Skan S.W. LXXXV. Solutions of the boundary-layer equations // London, Edinburgh, Dublin Philos. Mag. J. Sci., Ser. 7. 1931. V. 12, No 80. P. 865–896. https://doi.org/10.1080/14786443109461870.

27. Asaithambi A. A second-order finite-difference method for the Falkner–Skan equation // Appl. Math. Comput. 2004. V. 156, No 3. P. 779–786. https://doi.org/10.1016/j.amc.2003.06.020.

28. Meade D.B., Haran B.S., White R.E. The shooting technique for the solution of two-point boundary value problems // MapleTech. 1996. V. 3, No 1. P. 1–8.

29. Sun B.-H. Solving Prandtl-Blasius boundary layer equation using Maple. Preprints. 2020. 2020080296. 12 p. https://doi.org/10.20944/preprints202008.0296.v2.

30. Givi P. Blasius similarity solution for boundary layer flow over a flat plate. MEMS1055, Computer Aided Analysis in Transport Phenomena. 11 p.

31. Bani-Hani E.H., Assad M.E.H. Boundary-layer theory of fluid flow past a flat-plate: Numerical solution using MATLAB // Int. J. Comput. Appl. 2018. V. 180, No 18. P. 6–8. https://doi.org/10.5120/ijca2018916374.

32. Сабер С.Р.С. Спектр пульсаций развитого турбулентного пограничного слоя на пластине в несжимаемой жидкости: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Жуковский: МФТИ, 2022. 117 с.

33. Khandelwal R., Kumawat P., Khandelwal Y. Solution of the Blasius equation by using Adomian Kamal transform // Int. J. Appl. Comput. Math. 2019. V. 5, No 1. Art. 20. https://doi.org/10.1007/s40819-019-0601-7.

34. Majid Z.A., See P.P. Study of predictor corrector block method via multiple shooting to Blasius and Sakiadis flow // Appl. Math. Comput. 2017. V. 314. P. 469–483. https://doi.org/10.1016/j.amc.2017.06.038.

35. Mutuk H. A neural network study of Blasius equation // Neural Process. Lett. 2020. V. 51, No 3. P. 2179–2194. https://doi.org/10.1007/s11063-019-10184-9.

36. Parlange J.Y., Braddock R.D., Sander D. Analytical approximations to the solution of the Blasius equation // Acta Mech. 1981. V. 38, No 1. P. 119–125. https://doi.org/10.1007/BF01351467.

37. Schlichting H., Gersten K. Boundary-Layer Theory. Berlin, Heidelberg: Springer, 2017. P. 156–164. https://doi.org/10.1007/978-3-662-52919-5.

38. Schlichting H. Boundary-Layer Theory. New York, NY: McGraw-Hill, 1979. P. 95–101, 127–149, 163–170.

39. de Boor C. A Practical Guide to Splines. Marsden J.E., Sirovich L. (Eds.). Ser.: Applied Mathematical Sciences. V. 27. New York, NY: Springer, 2001. xvii, 346 p.

40. Зубарев В.М. Влияния параметров сильно турбулизированного потока жидкости на пристен- ные переходные течения в пограничном слое // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2020. Т. 162, кн. 1. С. 38–51. https://doi.org/10.26907/2541-7746.2020.1.38-51.

41. Зубарев В.М. Исследование совместного влияния параметров турбулентности набегающего потока на переход течения в пограничном слое // Тепл. проц. в техн. 2016. Т. 8, № 1. С. 4–15.

42. Zubarev V. M. Modeling of a three-dimensional incompressible fluid flow in a turbulent boundary layer in a diffuser // Fluid Dyn. 2023. V. 58, No 8. P. 1684–1696. https://doi.org/0.1134/S0015462823602644.