Применение метода суперэлементов для учета свойств нагружающих систем

Работа посвящена вопросам применения метода суперэлементов для учета свойств нагружающих систем в численных решениях краевых задач механики деформируемого твердого тела. Рассмотрен вариант учета свойств нагружающих систем через нелокальные граничные условия контактного типа с применением тензоров Неймана и Грина. Для их определения предложен метод суперэлементов. Для различных вариантов взаимного расположения исследуемой области и нагружающей системы построены матрица жесткости и вектор сил суперэлемента, используемые в разрешающей системе линейных алгебраических уравнений. Алгоритмы численного решения краевых задач нелинейного деформирования и разрушения твердых тел адаптированы для учета свойств нагружающих систем методом суперэлементов. Предложено применение разработанного подхода для оценки устойчивости процессов закритического деформирования материала. Сделан вывод о целесообразности применения метода суперэлементов для учета свойств нагружающих систем в численных решениях.

1. Митряйкин В. И., Безаметнов О. Н. Прочность многослойных пластин с ударными повреждениями // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2022. Т. 164, кн. 2-3. С. 206-220. https://doi.org/10.26907/2541-7746.2022.2-3.206-220.

2. Курмоярцева К. А., Котельникова Н. В., Волегов П. С. Структура и соотношения многоуровневой математической модели для описания формирования микротрещин в процессе деформирования поликристаллов // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2021. Т. 163, кн. 2. С. 197-213. https://doi.org/10.26907/2541-7746.2021.2.197-213.

3. Волков И. А., Игумнов Л. А., Литвинчук С. Ю. Континуальная модель повреждённой среды для описания процесса разрушения при ползучести // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2019. Т. 161, кн. 4. С. 509-525. https://doi.org/10.26907/2541-7746.2019.4.509-525.

4. Савицкий Ф. С., Вандышев Б. А. Жесткость испытательных машин и ее влияние на спадающий участок диаграммы растяжения и изгиба // Завод. лаб. 1956. Т. 22, № 6. С. 717-721.

5. Волков С. Д., Дубровина Г. И., Соковнин Ю. П. К теории устойчивости разрушения технических материалов // Пробл. прочн. 1978. № 2. С. 3-7.

6. Рысак Е. И. Об устойчивом закритическом деформировании в нежесткой трехосной испытательной машине // Докл. АН. 1993. Т. 330, № 2. С. 197-199. URL: https://www.mathnet.ru/dan49509.

7. Рысак Е. И. Об устойчивом закритическом деформировании упругопластических образцов, стесненных обоймой конечной жесткости // Изв. АН. МТТ. 1995. № 3. С. 117-135. URL: https://mtt.ipmnet.ru/ru/get/1995/3/117-135.

8. Лебедев А. А., Чаусов Н. Г. Установка для испытания материалов с построением полностью равновесных диаграмм деформирования // Пробл. прочн. 1981. № 12. С. 104–106.

9. Чаусов Н. Г., Войтюк Д. Г., Пилипенко А. П., Кузьменко А. М. Установка для испытаний материалов с построением полных диаграмм деформирования // Пробл. прочн. 2004. № 5. С. 117–123.

10. Вильдеман В. Э. О решениях упругопластических задач с граничными условиями контактного типа для тел с зонами разупрочнения // ПММ. 1998. Т. 62, № 2. С. 304–312.

11. Вильдеман В. Э., Зайцев А. В. О численном решении краевых задач механики деформирования и разрушения структурно-неоднородных тел с граничными условиями третьего рода // Вычисл. технол. 1996. Т. 1, № 2. С. 65–73.

12. Bažant Z. P., Jirásek M. Nonlocal integral formulations of plasticity and damage: Survey of progress // J. Eng. Mech. 2002. V. 128, No 11. P. 1119–1149. https://doi.org/10.1061/(ASCE)0733-9399(2002)128:11(1119).

13. Зайцев А. В., Бабкин А. С. Учет действительных свойств нагружающих систем при численном решении краевых задач методом конечных элементов // Вестн. ПГТУ. Матем. моделир. сист. проц. 2003. № 11. С. 19–28.

14. Струганов В. В., Просвиряков Е. Ю. Растяжение с кручением. Сообщение 3. Итерационный метод расчета параметров равновесия и устойчивость процесса деформирования механической системы при ее смешанном нагружении // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2009. № 1 (18). С. 66–74. https://doi.org/10.14498/vsgtu662.

15. Tan Y., Ma Q., Wang C., Liu X. Stiffness effect of testing machine indenter on energy evolution of rock under uniaxial compression // Geomech. Eng. 2022. V. 30, No 4. P. 345–352. https://doi.org/10.12989/gae.2022.30.4.345.

16. Yin Y., Zheng W., Tang X., Xing M., Zhang Y., Zhu Y. Test study on failure and energy supply characteristics of rock under different loading stiffness // Eng. Failure Anal. 2022. V. 142, Art. 106796. https://doi.org/10.1016/j.engfailanal.2022.106796.

17. Ma Q., Liu X., Tan Y., Wang R., Xie W., Wang E., Liu X., Shang J. Experimental study of loading system stiffness effects on mechanical characteristics and kinetic energy calculation of coal specimens // Rock Mech. Rock Eng. 2024. V. 57, No 11. P. 9941–9957. https://doi.org/10.1007/s00603-024-04054-7.

18. Vorobyov E. V., Anpilogova T. V. Influence of metal and loading system characteristics on low-temperature jump-like strain with regard to the type of accumulated potential energy // Strength Mater. 2025. V. 57, No 2. P. 247–256. https://doi.org/10.1007/s11223-025-00761-w.

19. Przemieniecki J. S. Matrix structural analysis of substructures // AIAA J. 1963. V. 1, No 1. P. 138–147. https://arc.aiaa.org/doi/10.2514/3.1483.

20. Meissner C. J. A multiple coupling algorithm for the stiffness method of structural analysis // AIAA J. 1968. V. 6, No 11. P. 2184–2185. https://doi.org/10.2514/3.4954.

21. Бровко Г. Л., Быков Д. Л., Васин Р. А., Георгиевский Д. В., Кийко И. А., Молодцов И. Н., Победы В. Е. Научное наследие А. А. Ильюшина и развитие его идей в механике // Изв. РАН. МТТ. 2011. № 1. С. 5–18.

22. Ильюшин А. А. Загадки механики твердых деформируемых тел // Нерешенные задачи механики и прикладной математики. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1977. С. 68–73.

23. Победля Б. Е., Шешенин С. В. О матрице влияния // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., механ. 1979. № 6. С. 76–81.

24. Craig R. R., Jr., Bampton M. C. C. Coupling of substructures for dynamic analyses // AIAA J. 1968. V. 6, No 7. P. 1313–1319. https://doi.org/10.2514/3.4741.

25. Craig R. R., Jr., Chang C.-J. Free-interface methods of substructure coupling for dynamic analysis // AIAA J. 1976. V. 14, No 11. P. 1633–1635. https://doi.org/10.2514/3.7264.

26. Белостоцкий А. М., Сутурин И. М. Суперэлементное моделирование статического и динамического НДС многоэтажных панельных зданий // Сб. науч. тр. МГСУ «Вопросы прикладной математики и вычислительной механики». 2002. С. 57–69.

27. Городецкий А. С. Возможности применения суперэлементов при решении различных задач строительной механики // Строит. механ. расч. сооруж. 2015. № 6 (263). С. 51–56.

28. Nagibovich A. I. Superelement simulation technique of dynamics for large-size system "base – reinforced concrete structures – metal structures". Verification and approbation // Int. J. Comput. Civ. Struct. Eng. 2019. V. 15, No 4. P. 123–132. https://doi.org/10.22337/2587-9618-2019-15-4-123-132.

29. Нагибович А. И. Методика суперэлементного моделирования динамики систем «основание – конструкции фундаментов и трибун – конструкции покрытия» стадионов Чемпионата мира по футболу 2018 года в России. Описание и верификация // Междунар. журн. расч. гражд. строит. констр. 2018. Т. 14, № 2. С. 117–132. https://doi.org/10.22337/2587-9618-2018-14-2-117-132.

30. Сутырин В. И., Куксахметова Э. Р. Расчет по частям конечно-элементной (3D) модели конструкции стационарной морской платформы как механической системы «сооружение – свайный фундамент – грунтовое основание» // Мор. интеллект. технол. 2024. № 3, ч. 2. С. 132–142. https://doi.org/10.37220/MIT.2024.65.3.017.

31. Dwarshuis K., Ellenbroek M., Aarts R., Brouwer D. A multinode superelement in the generalized strain formulation // Multibody Syst. Dyn. 2022. V. 56, No 4. P. 367–399. https://doi.org/10.1007/s11044-022-09850-z.

32. De Weer T., Vannieuwenhoven N., Lammens N., Meerbergen K. The parametrized superelement approach for lattice joint modelling and simulation // Comput. Mech. 2022. V. 70, No 2. P. 451–475. https://doi.org/10.1007/s00466-022-02176-9.

33. Sengupta P., Chakraborty S. A state-of-the-art review on model reduction and substructuring techniques in finite element model updating for structural health monitoring applications // Arch. Comput. Methods Eng. 2025. V. 32, No 5. P. 3031–3062. https://doi.org/10.1007/s11831-025-10231-w.

34. Федоренко Р. П., Страховская Л. Г. Об одном варианте метода конечных элементов // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1979. Т. 19, № 4. С. 950–960.

35. Вильдеман В. Э., Феклистова Е. В., Мугапаров А. И., Муллахметов М. Н., Кучуков А. М. Аспекты численного моделирования процессов разрушения упруго-хрупких тел // Вычисл. механ. сплошн. сред. 2023. Т. 16, № 4. С. 420–429. https://doi.org/10.7242/1999-6691/2023.16.4.35.

36. Feklisova E. V, Mugatarov A. I., Wildemann V. E. Numerical study of the influence of the parameters of statistical distribution of the structural elements' ultimate strength on deformable bodies' fracture processes // Fract. Struct. Integr. 2024. V. 18, No 70. P. 105-120. https://doi.org/10.3221/IGF-ESIS.70.06.

37. Feklisova E. V, Mugatarov A. I., Wildemann V. E. Numerical modeling of fracture processes of bodies with stress concentrators under conditions of proportional loading, taking into consideration the statistical distribution of ultimate strength and partial loss of load bearing capacity // Fract. Struct. Integr. 2025. V. 19, No 74. P. 55-72. https://doi.org/10.3221/IGF-ESIS.74.05.