О спектральных свойствах сеточных операторов схем МКЭ решения задач теории упругости. Двумерные схемы
https://doi.org/10.26907/2541-7746.2026.1.183-201
Аннотация
Проведено исследование спектров сеточных операторов некоторых схем метода конечных элементов (МКЭ) решения двумерных задач теории упругости. Показано, что у ряда классических схем МКЭ может иметь место взаимное влияние спектров объемных и сдвиговых деформаций, что может приводить к нежелательным эффектам объемного и сдвигового запирания. Анализ погрешностей спектров схем МКЭ показал эффективность приема сокращенного интегрирования и важность выполнения групповых свойств сеточных дифференциальных операторов, обеспечивающих согласованную аппроксимацию частных производных. Описан ряд численных схем с улучшенными спектральными свойствами. Результаты исследования проиллюстрированы решениями модельных задач.
Ключевые слова
ажурная схема,
объемное запирание,
сокращенное интегрирование,
собственные значения дифференциального оператора
При поддержке: Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (проект № 24-29-00422).
Об авторах
Д. Т. Чекмарев
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
Россия
Россия
Дмитрий Тимофеевич Чекмарев, доктор физико-математических наук, доцент, главный научный сотрудник Научно-исследовательского института механики
г. Нижний Новгород
В. В. Трофимов
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
Россия
Россия
Вадим Владимирович Трофимов, лаборант Научно-исследовательского института механики
г. Нижний Новгород
Я. Абу Даввас
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
Россия
Россия
Яссер Абу Даввас, преподаватель
г. Нижний Новгород
Список литературы
1. Самарский А.А., Попов Ю.П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1992. 424 с.
2. Бондаренко Ю.А., Стенин А.М. Применение вариационных принципов механики для построения дискретных по времени разностных моделей газодинамики. Ч. 2 // Вопр. атомн. науки и техн. Сер. Метод. и прогр. числ. реш. задач матем. физ. 1986. Вып. 1. С. 14–26.
3. Баженов В.Г., Чекмарев Д.Т. Об индексной коммутативности численного дифференцирования // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1989. Т. 29, № 5. С. 662–674.
4. Баженов В.Г., Чекмарев Д.Т. Решение задач нестационарной динамики пластин и оболочек вариационно-разностным методом: учеб. пособие. Н. Новгород: Изд-во Нижегор. ун-та, 2000. 118 с.
5. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Too J.M. Reduced integration technique in general analysis of plates and shells // Int. J. Numer. Methods Eng. 1971. V. 3, No 2. P. 275–290. https://doi.org/10.1002/nme.1620030211.
6. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975. 575 с.
7. Чекмарев Д.Т. Об одном способе построения двумерных 4-узловых и трехмерных 8-узловых конечных элементов решения задач теории упругости // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2013. Т. 155, кн. 3. С. 150–158.
8. Telikicherla R.M., Moutsanidis G. Treatment of near-incompressibility and volumetric locking in higher order material point methods // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 2022. V. 395. Art. 114985. https://doi.org/10.1016/j.cma.2022.114985.
9. Ohya Y., Youshida N. FEM model of Biot’s equations free from volume locking and hourglass instability // Proc. 14th World Conf. on Earthquake Engineering (14WCEE). Beijing, 2008. 8 p.
10. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 541 с.
11. Голованов А.И., Бережной Д.В. Метод конечных элементов в механике деформируемых твердых тел. Казань: Дас, 2001. 300 с.
12. Нох В.Ф. СЭЛ – совместный эйлерово-лагранжев метод для расчета нестационарных двумерных задач // Вычисл. методы в гидродинам.: сб. статей. М.: Мир, 1967. С. 128–184.
13. Уилкинс М.Л. Расчет упругопластических течений // Вычисл. методы в гидродинам.: сб. статей. М.: Мир, 1967. С. 212–263.
14. Sun E.Q. Shear locking and hourglassing in MSC Nastran, ABAQUS, and ANSYS // Proc. MSC Software Users Meet. 2006. 9 p.
Рецензия
Для цитирования:
Чекмарев Д.Т., Трофимов В.В., Абу Даввас Я. О спектральных свойствах сеточных операторов схем МКЭ решения задач теории упругости. Двумерные схемы. Ученые записки Казанского университета. Серия Физико-математические науки. 2026;168(1):183-201. https://doi.org/10.26907/2541-7746.2026.1.183-201
For citation:
Chekmarev D.T., Trofimov V.V., Abu Dawwas Ya. On the spectral properties of grid operators for FEM schemes in elasticity theory. Two-dimensional schemes. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki. 2026;168(1):183-201. (In Russ.) https://doi.org/10.26907/2541-7746.2026.1.183-201
Послать статью по эл. почте 