Описание трансляционно-инвариантных мер Гиббса на дереве Кэли произвольного порядка

Исследован класс трансляционно-инвариантных мер Гиббса для моделей с континуумом значений спина на дереве Кэли. Показано, что задача описания таких мер сводится к изучению положительных решений нелинейного интегрального уравнения типа Гаммерштейна. Установлена связь между решениями интегрального уравнения и свойствами соответствующего полинома. Доказана теорема о существовании и единственности положительного решения уравнения Гаммерштейна для произвольного порядка дерева 𝑘 ≥ 2. Получены явные формулы для решений через корни полинома степени 𝑘 + 1, конструктивно описывающего множество трансляционноинвариантных мер Гиббса.

1. Georgii H.O. Gibbs Measures and Phase Transitions. Ser.: De Gruyter Studies in Mathematics. V. 9. Berlin, New York, NY: De Gruyter, 2011. 525 p. https://doi.org/10.1515/9783110250329.

2. Rozikov U.A. Gibbs Measures on Cayley Trees. Singapore, Hackensack, NJ, London: World Sci. Publ., 2013. 404 p. https://doi.org/10.1142/8841.

3. Lines M.E., Glass A.M. Principles and Applications of Ferroelectrics and Related Materials. Oxford, MS: Clarendon Press, 1977. 694 p.

4. Chaikin P.M., Lubensky T.C. Principles of Condensed Matter Physics. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1995. 699 p. https://doi.org/10.1017/CBO9780511813467.

5. Rozikov U.A., Eshkabilov Yu.Kh. On models with uncountable set of spin values on a Cayley tree: Integral equations // Math. Phys., Anal. Geom. 2010. V. 13, No 3. P. 275–286. https://doi.org/10.1007/s11040-010-9079-6.

6. Eshkabilov Yu.Kh., Haydarov F.H., Rozikov U.A. Non-uniqueness of Gibbs measure for models with uncountable set of spin values on a Cayley tree // J. Stat. Phys. 2012. V. 147, No 4. P. 779–794. https://doi.org/10.1007/s10955-012-0494-x.

7. Eshkabilov Yu.Kh., Haydarov F.H., Rozikov U.A. Uniqueness of Gibbs measure for models with uncountable set of spin values on a Cayley tree // Math. Phys., Anal. Geom. 2013. V. 16, No 1. P. 1–17. https://doi.org/10.1007/s11040-012-9118-6.

8. Eshkabilov Yu.Kh., Rozikov U.A., Botirov G.I. Phase transitions for a model with uncountable set of spin values on a Cayley tree // Lobachevskii J. Math. 2013. V. 34, No 3. P. 256–263. https://doi.org/10.1134/S1995080213030050.

9. Jahnel B., K¨ulske C., Botirov G. Phase transition and critical values of nearest-neighbor system with uncountable local state space on Cayley trees // Math. Phys., Anal. Geom. 2014. V. 17, No 3. P. 323–331. https://doi.org/10.1007/s11040-014-9158-1.

10. Eshkabilov Yu.Kh., Bobonazarov Sh.P., Teshaboev R.I. Translation-invariant Gibbs measures for a model with logarithmic potential on a Cayley tree // Nanosystems: Phys., Chem., Math. 2016. V. 7, No 5. P. 893–899. https://doi.org/10.17586/2220-8054-2016-7-5-893-899.

11. Eshkabilov Yu.Kh., Nodirov Sh.D., Haydarov F.H. Positive fixed points of quadratic operators and Gibbs measures // Positivity. 2016. V. 20, No 4. P. 929–943. https://doi.org/10.1007/s11117-015-0394-9.

12. Eshkabilov Yu.Kh., Nodirov Sh.D. Positive fixed points of cubic operators on R 2 and Gibbs measures // Журн. СФУ. Матем. и физ. 2019. Т. 12, № 6. C. 663–673. http://dx.doi.org/10.17516/1997-1397-2019-12-6-663-673.

13. Eshkabilov Yu.Kh., Nodirov Sh.D. On the positive fixed points of quartic operators // Bull. Inst. Math. 2020. No 3. P. 27– 36.

14. Эшкабилов Ю.Х., Нодиров Ш.Д. Положительные неподвижные точки интегральных операторов типа Гаммерштейна с вырожденным ядром // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2024. Т. 166, № 3. C. 437–449. https://doi.org/10.26907/2541-7746.2024.3.437-449.

15. Прасолов В.В. Многочлены. М.: МЦНМО, 2003. 336 c. URL: https://math.ru/lib/391.