Неявная ажурная схема решения трехмерных задач теории упругости

Рассмотрена новая неявная схема решения трехмерных динамических задач теории упру гости. Для аппроксимации уравнений теории упругости по пространственным координатам использована ажурная схема метода конечных элементов на базе 4-узлового конечного элемента с линейной аппроксимацией перемещений в пределах элемента. Конечные элементы расположены по одному в центрах расчетной сетки из гексаэдрических ячеек. Благодаря этому на сетках с одинаковым размером элементов данная схема имеет в пять раз меньше конечных элементов и в два раза меньше узлов по сравнению с традиционными схемами на базе 4-узловых линейных конечных элементов. Это обуславливает её высокую экономичность. Аппроксимация уравнений по времени построена на основе неявной абсолютно устойчивой численной схемы Кранка–Николсона (метод трапеций). Обсуждена проблема эффективной применимости данной схемы– того класса задач, для решения которых она будет предпочтительнее явной схемы. Приведен пример решения тестовой модельной задачи с использованием этой схемы.

1. Жидков А.В., Зефиров С.В., Кастальская К.А. Спирин С.В., Чекмарев Д.Т. Ажурная схема численного решения трехмерных динамических задач теории упругости и пластичности // Вестн. ННГУ. 2011. № 4(4). С. 1480–1482.

2. Крутова К.А. Численное решение трехмерных динамических задач теории упругости и пластичности на основе ажурной вариационно-разностной схемы: автореф. дис.... канд. физ. мат. наук. Нижний Новгород, 2015.

3. Жидков А.В., Спирин С.В., Чекмарев Д.Т. Ажурная схема метода конечных элементов решения статических задач теории упругости // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2012. Т. 154, кн. 4. С. 26–32.

4. Lakes R. Elastic and viscoelastic behavior of chiral materials // Int. J. Mech. Sci. 2001. V. 43, No 7. P. 1579–1589. https://doi.org/10.1016/S0020-7403(00)00100-4.

5. Coombs W.M., Charlton T.J., Cortis M., Augarde Ch.E. Overcoming volumetric locking in material point methods // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. 2018. V. 333. P. 1–21. https://doi.org/10.1016/j.cma.2018.01.010.

6. Курант Р., Фридрихс К., Леви Г. О разностных уравнениях математической физики // УМН. 1941. № 8. С. 125–160.

7. Бураго Н.Г., Никитин И.С. Безматричная реализация неявных схем методом сопряженных градиентов // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. 2018. Т. 58, № 8. C. 50–61.

8. Tovbis E., Krutikov V., Stanimirovi´c P., Meshechkin V., Popov A., Kazakovtsev L. A family of multi-step subgradient minimization methods // Mathematics. 2023. V. 11, No 10. Art. 2264. https://doi.org/10.3390/math11102264.

9. Carson A.M., Banks J.W., Henshaw W.D., Schwendeman D.W. High-order accurate implicit explicit time-stepping schemes for wave equations on overset grids. https://doi.org/10.48550/arXiv.2404.14592.

10. Golubev V.I., Nikitin I.S., Mi X. Numerical schemes of higher approximation orders for dynamic problems of elastoviscoplastic media // Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ. 2024. Т. 17, № 1. С. 8–17.

11. Голованов А.И., Бережной Д.В. Метод конечных элементов в механике деформируемых твердых тел. Казань: ДАС, 2001. 300 с.

12. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. 541 с. 13. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов / пер. с англ. А.С. Алексеева и др.; под ред. А.Ф. Смирнова. М.: Стройиздат, 1982. 448 с.

13. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы: учеб. пособие для вузов. М.: Наука. Гл. ред. физ-мат. лит., 1989. 432 с.

14. Данилин А.Н., Марков А.В. Моделирование динамики развертывания гибких стержневых систем при различных способах изменения их начальной геометрии // Матер. VIII Между нар. симпоз. «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» (Ярополец, 11–15 февр. 2002 г.). Москва, 2002. 61 с.

15. Шалашилин В.И., Кузнецов Е.Б. Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике. М.: Эдиториал УРСС, 1999. 222 с.

16. Баженов В.Г., Ломунов В.К. Методика расчета динамического деформирования геометрически изменяемых плоских стержневых систем // Пробл. прочн. и пласт.: межвуз. сб. научн. тр. ННГУ. 2002. Вып. 64. С. 55–63.